| Autor |
Beitrag |
    
Basti
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 19:29: | 
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Ich brauche wirklich dringend Lösungswege zu den folgenden Aufgaben, die ich nicht so einfach verstehe, hilf mir doch mal einer!
(1.)Welchen Rauminhalt hat der Drehkörper, der
entsteht, wenn die Fläche zwischen den
Schaubildern von f und g um die x-Achse
rotiert?
a) f(x)=3x^2-x^3 ; g(x)=x^2
b) g(x)=x(x-2)^2 + 2 ; g(x)=1/2x^2 + 1/2x +2
(2.) Ein Stromliniekörper entsteht durch Rotation
des Schaubildes der Funktion f mit
f(x)=1/4(x-4)*Wurzel aus x für 0 <= x <= 4
um die x-Achse. Zeichne ein Schaubild von f.
Bestimme den größten Durchmesser und den
Rauminhalt des Körpers. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 00:24: |
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Hi Basti
(1.)
Für den Rotationskörper, der bei Rotation der Fläche zwischen f(x)³0 (oder f(x)£0) und der x-Achse (von x=a bis x=b) um die x-Achse entsteht, gilt:
V=Pi*òa b [f(x)]^2 dx
Wenn die Fläche zwischen zwei Kurven um die x-Achse rotiert, muss man erstmal die Schnittpunkte x1=a und x2=b berechnen. Dann gilt (falls f über g liegt und g über der x-Achse liegt, oder falls funter g liegt und g unter der x-Achse liegt):
V=Pi*òa b ( [f(x)]^2 -[g(x)]^2 ) dx
a) f(x)=3x^2-x^3 ; g(x)=x^2
f mit g schneiden :
3x^2-x^3=x^2 |-x^2
2x^2-x^3=0 ... ausklammern
x^2*(2-x)=0
x1=a=0 ; x2=b=2
f(x) liegt in [0;2] über g(x) , da f(1)=2 > g(1)=1 und g(x)³0 liegt über der x-Achse:
V=Pi*ò0 2 ( (3x^2-x^3)^2-(x^2)^2 ) dx
V=Pi*ò0 2 ( 9x^4-6x^5+x^6-x^4 ) dx
V=Pi*ò0 2 ( 8x^4-6x^5+x^6 ) dx
V=Pi*[ (8/5)*x^5 - x^6 + (1/7)*x^7 ] von 0 bis 2
Da Null eingesetzt Null ergibz, muss man nur die 2 einsetzen:
V=Pi*( (8/5)*32 - 64 + (1/7)*128 )
V=Pi*192/35 (Volumeneinheiten)
b) f(x)=x(x-2)^2 + 2 ; g(x)=1/2x^2 + 1/2x +2
f mit g schneiden:
x*(x^2-4x+4)+2=(1/2)x^2+(1/2)x+2
x^3-4x^2+4x+2=(1/2)x^2+(1/2)x+2
x^3-(9/2)x^2+(7/2)x=0 | *2
2x^3-9x^2+7x=0 ...x ausklammern
x(2x^2-9x+7)=0
x1=0 oder
2x^2-9x+7=0
x2/3=(9±wurzel(81-56))/4
x2=(9+5)/4=7/2
x3=(9-5)/4=1
Hier gibt es 3 Schnittpunkte:
In [0;1] liegt f über g (wegen f(0,5)=3,125>g(0,5)=2,375) und in [1;7/2] liegt g über f (wegen g(2)>f(2)); ausserdem sind beider Funktionen für x³0 positiv.
Nun gilt V=V1 + V2
mit
V1=Pi*ò0 1 ( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 ) dx und
V2=Pi*ò1 7/2 ( [g(x)]^2 - [f(x)]^2 ) dx
Zuerst müssen jetzt die einzelnen Funktionen quadriert werden; (erst) dann abziehen und die Stammfunktion bilden....
(2.)
f(x)=(1/4)*(x-4)*wurzel(x) (nehme ich an)
Beim Zeichnen sieht man, dass f die Nullstellen 0 und 4 hat und dass f in [0;4] unter der x-Achse verläuft.
Man kann das auch rechnerisch rauskriegen: die Nullstellen sind offenbar 0 und 4 und f(2)=(1/4)*(-2)*wurzel(2)<0.
Der grösste Durchmesser entsteht am iefpunkt von f, also ableiten:
f(x)=(1/4)*(x^1,5-4*x^0,5)
f '(x)=(1/4)*(1,5*x^0,5-2*x^(-0,5))=(174)*(1,5*wurzel(x)-2/wurzel(x))
f ''(x)=(1/4)*(0,75*x^(-0,5)+x^(-1,5))
f '(x)=0 liefert
1,5*wurzel(x)-2/wurzel(x)=0 | *2*wurzel(x)
3x-4=0
x=(4/3)
Da f ''(x)>0 gilt, liegt ein relatives Minimum vor (sogar ein absolutes, da es das einzig gefundene war (und f' stetig ist)).
f(4/3)=(1/4)*(4/3-4)*wurzel(4/3)=(1/3-1)*2/wurzel(3)=(-2/3)*2*wurzel(3)/3=-4*wurzel(3)/9=-0,769800358...
Deswegen ist der grösste Durchmesser doppelt so gross und positiv:
D=(8/9)*wurzel(3)=1,539600718...
Der stromlinige Rotationskörper soll sinnvollerweise nur von 0 bis 4 betrachtet werden (Zeichnung)
V=Pi*ò0 4 [f(x)]^2 dx
V=Pi*ò0 4 (1/16) * (x-4)^2 * x dx
V=Pi*ò0 4 (1/16) * (x^2-8x+16) * x dx
V=Pi*ò0 4 (1/16) * (x^3-8x^2+16x) dx
V=Pi*[ (1/16) * ( (1/4)*x^4 - (8/3)*x^3 + 8x^2] von 0 bis 4
Wieder braucht man nur die 4 einsetzen, da die 0 die 0 ergibt:
V=(Pi/16)*( (1/4)*256 - (8/3)*64 + 8*16 )
V=(Pi/16)*(64/3)
v=4*Pi/3 |
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