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Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. November, 2002 - 15:31: | 
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Hi,
ich hab folgende Aufgabe gelöst (zumindest versucht):
Untersuchen Sie, welche der folgenden Relationen ~ auf der jeweiligen Menge A Äquivalenzrelationen sind:
A= Menge d. reelen Zahlen x ~ y genau dann wenn:
Es existiert (mindestens) ein k (Existenzquantor) aus der Menge der ganzen Zahlen so dass gilt x=y+ 2 mal k mal Pi
Ich bin nun so rangegangen:
Aquivalenz ist nut gegeben, wenn reflexivität, symmetrie, und transitivität gegeben ist.
Es ist reflexiv da für alle x gilt xRx (x steht in Relation zu x), denn das selbe x bekommt man nur, wenn das selbe k und y gewählt sind.
Es ist symmetrisch, da nur ein x herauskommt bei den selben y Werten und ein y bei dem selben x Wert.
Bei der transitivität bin ich mir unsicher, denn aus xRx und yRx müßte xRz folgen, das versteh ich nicht so ganz. Könnte mir das jemand noch mal ausführlich erklären und ggf. meine Fehler korrigieren=
Auch für einfach erklärende Bsp. für antisymmetrisch, linear wäre ich dankbar.
MfG |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 688
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. November, 2002 - 17:28: |
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Hi Alexander
Ich hoffe mal, dass ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Es gilt also x~y genau dann, wenn ein k existiert mit:
x=y+2kp
~ ist reflexiv:
Setze k=0
x=x+2*0*p
~ ist symmetrisch:
x~y <=> x=y+2kp
=> y~x , denn y=x+2*(-k)*p
~ ist transitiv:
x~y <=> x=y+2k1p
y~z <=> y=z+2k2p
=> x~z, denn durch einsetzen erhältst du:
x=y+2k1p
=z+2k2p+2k1p
=z+2*(k1+k2)p
Dein neues k ist hier also k1+k2.
antisymmetrisch wäre z.B. die kleiner-gleich relation.
Aus x<=y und y<=x folgt y=x.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. November, 2002 - 17:52: |
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Hi Alexander
Hab eine lineare Relation vergessen.
Linear heißt, dass für alle Elemente x,y gilt:
x~y oder x=y oder y~x.
Ein Beispiel hierfür wäre die Kleiner-Relation.
MfG
C. Schmidt |
Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 12:51: |
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Hallo nochmal,
O.K., mal sehn ob ich es nun verstanden habe. Man soll eine Relation angeben, die reflexiv und symmetrisch aber nicht transitiv ist.
Folgendes Bsp. hab ich mir da ausgedacht:
Eine Menge A={1,2,3,...,10} (nat. Zahlen)
Die Relation a ~ b genau dann wenn a teilt b und b=a
Das ist reflextiv, denn für alle a aus A gilt aRa
(bei der Relation muß ich doch dann einfach b gegen a ersetzen, wenn ich da aRa untersuche, oder? Also a teilt a und a=a, wenn ich das so anwende?)
Und auch symmetrisch, denn für alle a,b aus A gilt aRb => bRa da b=a ist gilt die Symmetrie, denn a teilt b(=a), also sich selber und b(=a) teilt a. Hab ich das korrekt verstanden?
Jetzt soll noch ne reflexiv und transitiv aber nicht symmetrische Relation gefunden werden. Wenn ich da ein Bsp. hab post ich nochma. Aber noch ne andre Sache:
Wenn jetzt auf obige Menge A die Relation a~b gdw. a=2b defniert würde, wär dies doch nicht reflexiv, da für alle a aus A nicht gilt aRa, oder? Denn a ist nicht a=2a, wenn ich das so einsetze, stimmt das so, seh ich das mit diesem einsetzen zum prüfen der Relation korrekt?
Und wieso muß ich bei meinem ersten Bsp. vom ersten Post (x=y+2k mal Pi) bei der Prüfung auf reflexivität k Null setzen?
Danke
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 695
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 15:07: |
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Hi Alexander
Und wieso muß ich bei meinem ersten Bsp. vom ersten Post (x=y+2k mal Pi) bei der Prüfung auf reflexivität k Null setzen?
Du suchst ja ein k aus Z, damit gilt:
x=x+2kp
Dies ist natürlich nur erfüllt für k=0. Du hast also ein entsprechendes k gefunden, damit ist deine Relation reflexiv. Wäre die Gleichung jetzt beispielsweise
x=kx+2kp, so wäre k im Normalfall keine ganze Zahl und damit wäre die Relation nicht reflexiv.
Jetzt zu deiner Relation:
O.K., mal sehn ob ich es nun verstanden habe. Man soll eine Relation angeben, die reflexiv und symmetrisch aber nicht transitiv ist.
Folgendes Bsp. hab ich mir da ausgedacht:
Eine Menge A={1,2,3,...,10 (nat. Zahlen)
Die Relation a ~ b genau dann wenn a teilt b und b=a
Das ist reflextiv, denn für alle a aus A gilt aRa
(bei der Relation muß ich doch dann einfach b gegen a ersetzen, wenn ich da aRa untersuche, oder? Also a teilt a und a=a, wenn ich das so anwende?)
Und auch symmetrisch, denn für alle a,b aus A gilt aRb => bRa da b=a ist gilt die Symmetrie, denn a teilt b(=a), also sich selber und b(=a) teilt a. Hab ich das korrekt verstanden? }
Das ist ja eigentlich alles nicht falsch, was du hier machst, nur ist die Bedinung a teilt b natürlich überflüssig, denn das ist immer der Fall, wenn a=b. Du hast im Prinzip einfach die Gleichheitsrelation aufgestellt. Die ist im übrigen eine Äquivalenzrelation und damit auch transitiv.
Eine Relation, die reflexiv und symmetrisch aber nicht transitiv ist wäre z.B.
x~y genau dann, wenn |x-y|£10
Reflexivität sieht man sofort, Symmetrie folgt aus |x-y|=|y-x|.
Die Relation ist nicht transitiv:
|10-0|£10
=> 10~0
|0-(-10)|£10
=> 0~(-10)
|10-(-10)|=20>10
Also steht 10 nicht in Relation zu -10.
Jetzt soll noch ne reflexiv und transitiv aber nicht symmetrische Relation gefunden werden. Wenn ich da ein Bsp. hab post ich nochma.
Wäre z.B. die kleiner-gleich-Relation, die ist antisymmetrisch. Man nennt das dann Ordnungsrelation.
Wenn jetzt auf obige Menge A die Relation a~b gdw. a=2b defniert würde, wär dies doch nicht reflexiv, da für alle a aus A nicht gilt aRa, oder? Denn a ist nicht a=2a, wenn ich das so einsetze, stimmt das so, seh ich das mit diesem einsetzen zum prüfen der Relation korrekt?
Stimmt!
Du kannst auch mal hier schauen wegen Äquivalenzrelationen:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/148 231.html?1036594518
MfG
C. Schmidt
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Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 12:39: |
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Hi nochmal,
wenn ich nun folgende Relation hab
x,y aus den reellen Zahlen
x ~ y genau dann wenn |x-y| < Pi
Das ist doch nicht reflexiv, oder, denn:
x ~ x |x-x| < Pi gilt doch nur für pos. Zahlen, das da als Ergebniss immer null rauskommt, nur dann gilt die Relation, oder? Für neg. Zahlen gilt die nicht, denn z.B. |(-5)-(-5)|<Pi stimmt ja nicht.
Also ist diese Relation nicht reflexiv, wären x,y aus den natürlichen Zahlen wärs reflexiv, oder?
MfG |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 699
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 12:45: |
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Hi Alexander
Schau dir die Zeile nochmal an, dann siehst du, dass die Relation reflexiv ist:
z.B. |(-5)-(-5)|<Pi stimmt ja nicht.
bzw.
|x-x| < Pi gilt doch nur für pos. Zahlen
MfG
C. Schmidt |
Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 21:52: |
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Ups, das ist ja immer null, oder? Man bin ich blöd :-)
|x-y| und |y-x|<Pi gilt aber nicht, oder? Die Relation ist also nicht symmetrisch. Und transitiv dürfts auch net sein...
Wenn ich mich irre, sagts mir :-)
P.S. Danke an den immer schnell antwortenden C.S.
:-) |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 526
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 00:34: |
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Da |x-y|=|-(x-y)|=|-x+y|=|y-x| ist die Relation natürlich symmetrisch.
Sie ist halt nur nicht transitiv.
Veranschauliche Dir einfach mal die Relation: |x-y|<p bedeutet, daß zwei Werte genau dann in Relation zueinander stehen, wenn sie einen Abstand zueinander haben, der kleiner als p ist.
Reflexivität und Symmetrie sollten dann klar sein, Transitivität ist nicht gegeben, weil du ja zwei dieser Abstände kombinieren kannst, so daß der Abstand von x zu y und y zu z zwar kleiner als p ist, der von x zu z aber größer als p.
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Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 12:19: |
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Hmm,
ich dacht wenn ich die Relation |x-y| < Pi hab und dann auf Symmetrie teste, dann einfach nur
x~y -> |x-y| < Pi und |y-x| < Pi so umstellen. Wie kommst du dann auf das |-(x-y)| ?
Ist mir nicht so klar, wär nett, wenn du oder irgendwer die Sache nochmal ein bischen verständlicher erklärst :-)
MfG |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 702
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 14:24: |
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Hi Alexander
Ingo hat das ja eigentlich schon alles da stehen, sogar anschaulich, aber nochmal:
Bei deinem Beispiel zur Symmetrie ist ja
|x-y|<Pi
Es gilt ja -(y-x)=x-y
Einfach die -1 ausgeklammert. Das hat Ingo auch gemacht in dem Betrag:
|x-y|=|(-1)(y-x)|
Dann spaltest du den Betrag auf:
|(-1)(y-x)|=|(-1)|*|y-x|=|y-x|
Insgesamt gilt also:
|x-y|=|y-x| und da die linke Seite kleiner als Pi ist, muss es auch die rechte sein.
Und transitiv sollte die Relation ja nicht sein.
MfG
C. Schmidt |
Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 19:58: |
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Hi,
O.K., das -(y-x)=x-y gilt ist klar, aber wie kommt man überhaupt auf den Ansatz und muß die Relation auf dem gesamten Zahlenbereich gelten oder langt es schon, wenn einige x und y die Relation erfüllen, das die Relation z.B. symmetrisch ist.
Denn ich bin immer wie folgt vorgegangen, korrigiert mich, wenn was nich so korrekt is:
Wenn ich ne Relation auf reflexivität untersuche,
also z.B. Relation |x-y|<Pi, also x~y dann hab ich da bei der Reflexivität xRx steht x~x -> also |x-x|<Pi das gilt ja immer (deshalb meine Frage ob das für den ganzen Zahlenbereich gelten soll), also reflexiv...
Nun Symmetrie x~y wenn gilt y ~ x Nun ersetzt:
Ich hab nun ein paar Werte eingesetzt und die Relation gilt, ich wills aber allgemein ausdrücken und deshalb meine Frage, wie ihr auf -(y-x)=x-y gekommen seit...
MfG
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 703
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. November, 2002 - 20:17: |
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Hi Alexander
Ehrlich gesagt verstehe ich dein Problem nicht mehr.
Wie du die Relation aus Reflexivität untersuchst ist ja richtig.
Aber das x-y=-(y-x) gilt ist ja wohl klar. Ich mein sowas macht man spätestens in der achten Klasse. Ganz einfach ne minus-klammer, da drehen sich halt die Vorzeichen um und daher gilt die Gleichung auch auf dem gesamten Zahlenbereich.
Vielleicht hat Ingo ja noch ne bessere Erklärung.
MfG
C. Schmidt |
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