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benny (benny564)
Neues Mitglied
Benutzername: benny564
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. November, 2002 - 14:04: | 
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Hallo zusammen,
brauche mal Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Von einem Quadrat mit der Seite 2a sind vier kongruente gleichschenklige Dreiecke wegzuschneiden, deren Grundlinien die Quadratseiten sind. Die übrigbleibende Figur ist das Netz einer quadratischen Pyramide. Die Höhe x der abzuschneidenden Dreiecke ist so zu wählen, dass die Pyramide maximales Volumen erhält.
Danke schon im voraus! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 635
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 17:20: |
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w2 := Wurzel(2);
PYRAMIDENVOLUMEN = G*H/3
PYRAMIDENGRUNDFLÄCHE G
b = (a-x)w2
G = b² = 2(a-x)²
PYRAMIDENHÖHE H
H² = h² - b²/4
Mantelflächenhöhe h
h² = a²+x² - b²/4
PYRAMIDENHÖHE H
H² = h² - b²/4 = a²+x² - b²/2
H² = a²+x² - (a-x)² = 2ax
PYRAMIDENVOLUMEN = G*H/3 = 2(a-x)²Wurzel(2ax)/3
G*H/3 = 2(a-x)²Wurzel(2ax)/3
der
Konstante Fakteor 2*Wurzel(2a)/3 hat keinen Einfluß
auf das Extremum,
zu
Maximieren ist also f(x) = (a-x)²Wurzel(x)
wenn
f(x) maximal ist, ist auch f²(x) maximal [ (f²)' = 2*f*f' = 0 ist 0 wenn f'=0 ]
also
lösen wir F(x)' = 0 = [(a-x)^4*x]' = -4(a-x)³x + (a-x)^4
4x = a-x; x = a/3
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematisk und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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benny (benny564)
Neues Mitglied
Benutzername: benny564
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 18:46: |
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Hallo!
Danke erstmal! Ich verstehe nur nicht ganz die Herkunft der Wurzel 2! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 639
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 21:13: |
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H² = a²+x² - (a-x)² = 2ax
daher H = Wurzel(2ax) = Wurzel(2a)Wurzel(x)
und
wenn Du überhaupt
b = (a-x)w2 meinst,
b ist Hypotehnuse eines re.wi. glei.Schenk. 3ecks
mit
Kathete = (a-x)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematisk und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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benny (benny564)
Neues Mitglied
Benutzername: benny564
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 17:26: |
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Wie kommt man bei der Mantelflächenhöhe h auf h² = a²+x² - b²/4 ?? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 642
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 17:40: |
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für den Schenkel s eines Mantel3ecks gilt
s² = a²+x²,
und für h gilt
h² = s² - (b/2)²
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematisk und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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benny (benny564)
Neues Mitglied
Benutzername: benny564
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 17:46: |
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ja, aber wie kommt man denn auf die Bedingung, dass s² = a²+x² ist?! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 644
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 21:25: |
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sieh Dir das 1te
Bild
nochmals an(wenn Du auf den Link klickst komm ein recht großes neues Fenster; ich hoffe, Du kannst dieses kleiner machen):
s ist die Hypothenuse der re.wi. 3ecks mit den Katheten x, a
(Beitrag nachträglich am 11., November. 2002 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematisk und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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