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joey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 17:23: | 
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gegeben ist eine kugel k mit dem mittelpunkt (16/3,8/3,16/3) und dem radius 4. gesucht ist die ursprungstangente an k, die mit der x1-x2-ebene den kleinsten winkel einschließt.
danke im voraus
joey |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 03:42: |
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Am besten suchst Du den Punkt B, in dem die gesuchte Tangente die Kugel berührt:
Der Punkt P=O(0|0|0) liegt ausserhalb der Kugel und der Berührpunkt B der gesuchten Tangente durch P=O(0|0|0) liegt auf der Polarebene E an die Kugel k: E hat die Gleichung
E: (x-m)°(p-m)=r^2
E: (x-(16/3;8/3;16/3))°((0;0;0)-(16/3;8/3;16/3))=16
E: -(16/3)*x1-(8/3)*x2-(16/3)*x3 +256/9+64/9+256/9=16
E: -(16/3)*x1-(8/3)*x2-(16/3)*x3=16-64 | *(-3/8)
E: 2x1 + x2 + 2x3 = 18
Der Berührpunkt B liegt aus symmetrischen Gründen aber auch auf der Ebene F durch P=O(0|0|0) und M(16/3|8/3|16/3), die senkrecht zur x1,x2-Ebene (x3=0) ist; deswegen ist PM=(16/3;8/3;16/3)=8/3*(2;1;2) ein Richtungsvektor der Ebene F, ein anderer ist der Normalenvektor von x3=0, also (0;0;1):
F: x=(0;0;0) + s*(2;1;2) + t*(0;0;1)
Die Ebene F hat eine einfache Koordinatengleichung:
F: x1 - 2*x2 = 0
Der Berührpunkt B liegt auf der Schnittgeraden s der beiden Ebene E und F :
aus E folgt x1=2*x2
eingesetzt in F folgt
4*x2 + x2 + 2*x3 = 18 oder
2*x3 = 18 -5*x2 <:2
x3= 9 -(5/2)*x2
Wir wählen x2=2s, damit gilt x1=4s und x3=9-5s:
Die Gerade s, auf der B liegt hat also die Gleichung
s: x=(0;0;9) + s*(4;2;-5)
B liegt auf s, aber auch auf der Kugel k:
Deswegen wird s mit k geschnitten (das ergibt 2 Lösungen):
k: (x1-16/3)^2+(x2-8/3)^2+(x3-16/3)^2=16, also
(4s-16/3)^2 + (2s-8/3)^2 + (9-5s-16/3)^2= 16
16s^2-128/3*s+256/9 + 4s^2-32/3*s+64/9 + 121/9 -110/3*s+25*s^2 = 16
45*s^2 - 90*s +33 = 0
s12=1 ± (2/15)*wurzel(15)
Da die Entfernung zur x3=0 -Ebene für s=1-(2/15)*wurzel(15) kleiner ist, ist auch der Winkel zu ihr kleiner,
also ergibt s=1-(2/15)*wurzel(15) den richtigen Punkt B
und dann ist OB die gesuchte Gerade. |
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