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Sabine
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 17:24: | 
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Hallo Leute!
Kann mir jemand bei folgendem Problem auf die Sprünge helfen?
Für welche reellen Zahlen x konvergiert die Reihe SUMME((1-1/x)^k) für k = 1 bis unendlich? Berechne den Summenwert für diese x.
Bitte helft mir ich hab am Freitig eine Klausur! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 20:21: |
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Die Reihe SUMME(q^k) für k=1 bis unendlich konvergiert für |q|<1 und divergiert für |q|>1.
Da hier q=1-1/x (x}ch{+-}, liegt Divergenz vor für
|1-1/x|>1, d.h. 1-1/x>1 oder 1-1/x<-1, also
1) 1-1/x>1 liefert 1/x<0 bzw x<0
2) 1-1/x<-1 liefert 1/x>2: da man wegen 1) x>0 annehmen darf (für x<0 ist die Reihe sowieso divergent), gilt dann x<1/2
Insgesamt liegt Divergenz für alle x<1/2 (x¹0) vor.
Für x=1/2 gilt q=1-1/(1/2)=1-2=-1: die Reihe über (-1)^k ist natürlich divergent (Partialsummen sind abwechselnd -1 und 0)
Konvergenz:
|1-1/x|<1 liefert dann natürlich x>1/2
Da Summe(q^k) für k=1 bis n = (q^(n+1)-q)/(q-1) und q<1 gilt, folgt q^(n+1)--->0 für n--->oo (unendlich), daher "ist" der Summenwert dann -q/(q-1)=-(1-1/x)/(1-1/x-1)=(-1+1/x)/(-1/x)= x-1 |
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