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Beitrag |
    
Kaka (kasao)
Neues Mitglied
Benutzername: kasao
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 10:21: | 
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Löse durch partielle Integration:
Integral (pi/2;0)sin³x dx
Kapier es einfach nicht. Kann es mir vielleicht jemand vorrechnen???
Vielen Dank schon mal. |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 264
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 10:43: |
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sin^3(x) = sin(x) * sin^2(x) =
sin(x) * ( 1 - cos^2(x) ) = sin(x) - sin(x) * cos^2(x) = sin(x) - 1/2 * sin(2x) * cos(x)
INT sin(x) dx = -cos(x) + C
-1/2 * INT sin(2x) * cos(x) dx
u = sin(2x) => u' = 2cos(2x)
v' = cos(x) => v = sin(x)
-1/2 * INT sin(2x) * cos(x) dx =
-1/2 * ( sin(2x) * sin(x) - 2 * INT sin(x) * cos(2x) dx
INT sin^3(x) dx = -cos(x) - 1/2 * sin(2x) * sin(x) + INT cos^2(x) * sin(x) dx - INT sin^3(x) dx
2 INT sin^3(x) dx = -cos(x) - 1/2 * sin(2x) * sin(x) + INT cos^2(x) * sin(x) dx
INT cos^2(x) * sin(x) dx = INT sin(x) - sin^3(x) dx
INT sin(x) - sin^3(x) dx = INT sin(x) dx - INT
sin^3(x) dx
2 INT sin^3(x) dx = -cos(x) - 1/2 * sin(2x)
* sin(x) + INT sin(x) dx - INT sin^3(x) dx
3 INT sin^3(x) dx = -2cos(x) - 1/2 * sin(2x)
* sin(x)
Jetzt kannst selber weitermachen
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 265
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 10:45: |
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sin^3(x) = sin(x) * sin^2(x) =
sin(x) * ( 1 - cos^2(x) ) = sin(x) - sin(x) * cos^2(x) = sin(x) - 1/2 * sin(2x) * cos(x)
INT sin(x) dx = -cos(x) + C
-1/2 * INT sin(2x) * cos(x) dx
u = sin(2x) => u' = 2cos(2x)
v' = cos(x) => v = sin(x)
-1/2 * INT sin(2x) * cos(x) dx =
-1/2 * ( sin(2x) * sin(x) - 2 * INT sin(x) * cos(2x) dx
INT sin^3(x) dx = -cos(x) - 1/2 * sin(2x) * sin(x) + INT cos^2(x) * sin(x) dx - INT sin^3(x) dx
2 INT sin^3(x) dx = -cos(x) - 1/2 * sin(2x) * sin(x) + INT cos^2(x) * sin(x) dx
INT cos^2(x) * sin(x) dx = INT sin(x) - sin^3(x) dx
INT sin(x) - sin^3(x) dx = INT sin(x) dx - INT
sin^3(x) dx
2 INT sin^3(x) dx = -cos(x) - 1/2 * sin(2x)
* sin(x) + INT sin(x) dx - INT sin^3(x) dx
3 INT sin^3(x) dx = -2cos(x) - 1/2 * sin(2x)
* sin(x)
Jetzt kannst selber weitermachen
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Kaka (kasao)
Neues Mitglied
Benutzername: kasao
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 14:12: |
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Wie geht es denn weiter??? Ich kann das nämlich net!!! |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 14:19: |
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Hi Kaka
Du musst einfach nur noch durch 3 teilen, dann hast du als Stammfunktion:
F(x)=-2/3*cos(x) - 1/6*sin(2x)*sin(x)
Jetzt setzt du deine Grenzen ein:
F(Pi/2)-F(0) und erhältst dein Ergebnis. Musst beim Taschenrechner aufpassen, dass der auf RAD steht.
MfG
C. Schmidt
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Kaka (kasao)
Neues Mitglied
Benutzername: kasao
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 16:08: |
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Ich versteh das nicht!!! Hilfe!! |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 16:33: |
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Hallo
Die Aufgabe ist doch schon fertig.
Wenn du von der Stammfunktion, die Christian und Mainziman für dich bestimmt haben, das Integral berechnen willst, musst du nur noch folgendes machen:
Integral(...) = F(b) - F(a), wobei b natürlich pi/2 und a gleich Null ist.
Also:
F(b) = 0
F(a) = -2/3
---> Integral = 2/3
MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 16:35: |
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Hallo
Wenn du von der Stammfunktion, die Christian und Mainziman für dich bestimmt haben, das Integral berechnen willst, musst du nur noch folgendes machen:
Integral(...) = F(b) - F(a), wobei b natürlich pi/2 und a gleich Null ist.
Also:
F(b) = 0
F(a) = -2/3
---> Integral = 2/3
MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 153
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 16:35: |
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Hallo
Wenn du von der Stammfunktion, die Christian und Mainziman für dich bestimmt haben, das Integral berechnen willst, musst du nur noch folgendes machen:
Integral(...) = F(b) - F(a), wobei b natürlich pi/2 und a gleich Null ist.
Also:
F(b) = 0
F(a) = -2/3
---> Integral = 2/3
MfG Klaus
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 691
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 17:08: |
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Wie ich sehe, bin ich nicht der einzige, der von den ganzen internal server errors betroffen ist!
Ich krieg keinen einzigen Beitrag mehr vernünftig gesandt, selbst früh morgends oder nachts nicht...  |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 157
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. November, 2002 - 18:09: |
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Hi
@Christian:
Geteiltes Leid ist halbes Leid.
Aber so langsam nervt es...
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Stephan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2005 - 17:07: |
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F(x)=-2/3*cos(x) - 1/6*sin(2x)*sin(x)
Christian S. gibt das hier als Stammfunktion von sin^3(x) an. Ich bitte um eine Vorführung der Ableitung, denn ich komme dabei nicht auf sin^3(x)!! |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1127
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2005 - 17:33: |
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F(x) = -2/3*cos(x) - 1/6*sin(2x)*sin(x)
f(x) = 2/3*sin(x) - 1/6*[2*cos(2x)*sin(x) + sin(2x)*cos(x)]
f(x) = 2/3*sin(x) - 1/6*[2*(cos^2(x)-sin^2(x))*sin(x) + 2*sin(x)*cos^2(x)]
f(x) = 2/3*sin(x) - 1/6*[2*(1-2*sin^2(x))*sin(x) + 2*sin(x)*(1-sin^2(x))]
f(x) = sin(x)*{2/3 - 1/6*[2*(1-2*sin^2(x)) + 2*(1-sin^2(x))]}
f(x) = sin(x)*{2/3 - 1/6*[2-4*sin^2(x) + 2-2*sin^2(x))]}
f(x) = sin(x)*{2/3 - 1/6*[4-6*sin^2(x)]}
f(x) = sin(x)*{2/3 - 4/6 + sin^2(x)}
f(x) = sin(x)*{sin^2(x)}
f(x) = sin^3(x)
passt genau 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1128
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2005 - 17:54: |
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Gegenprobe wir integrieren wieder, aber diesmal "etwas" anders;
vorher mal was zurechtbasteln:
(u*v*w)' = (u*v)'*w + u*v*w'
(u*v*w)' = (u*v'+u'*v)*w + u*v*w'
(u*v*w)' = u*v'*w + u'*v*w + u*v*w'
(u*v*w)' - u*v'*w - u'*v*w = u*v*w'
das jetzt integrieren
u*v*w - INT u*v'*w - INT u'*v*w = INT u*v*w'
u = v = sin(x) => u' = v' = cos(x)
w' = sin(x) => w = -cos(x)
sin^2(x)(-cos(x)) - INT sin(x)cos(x)(-cos(x)) dx - INT cos(x)sin(x)(-cos(x)) dx = INT sin^3(x) dx
(cos^2(x)-1)cos(x) + INT sin(x)cos^2(x) dx + INT sin(x)cos^2(x) dx = INT sin^3(x) dx
cos^3(x) - cos(x) + 2*INT sin(x)(1-sin^2(x)) dx = INT sin^3(x) dx
cos^3(x) - cos(x) + 2*INT sin(x) - sin^3(x) dx = INT sin^3(x) dx
cos^3(x) - cos(x) + 2*INT sin(x) dx - 2*INT sin^3(x) dx = INT sin^3(x) dx
cos^3(x) - cos(x) - 2*cos(x) = 3*INT sin^3(x) dx
-3cos(x) + cos^3(x) = 3*INT sin^3(x) dx
-cos(x) + cos^3(x)/3 = INT sin^3(x) dx
des sieht jetzt ganz anders aus, daher die Probe durch Ableiten:
F(x) = -cos(x) + cos^3(x)/3
f(x) = sin(x) - cos^2(x)*sin(x)
f(x) = sin(x)*[1 + cos^2(x)]
f(x) = sin(x)*[sin^2(x)]
f(x) = sin^3(x)
voila, und siehe diese Stammfkt. stimmt auch, und sieht ganz anders aus;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Stephan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2005 - 18:41: |
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Ich bin begeistert! ich habe aber auch einen furchtbaren Denkfehler gemacht. Beispiel: cos^3(x)/3 kann man auch anders schreiben: 1/3 *(cosx)^3 und so sieht jeder sofort die Ableitung mit der kettenregel: -cos^2(x)*sin(x) ich will gar nicht erst erklären, wie ich noch vor ein paar stunden sin^3(x) oder cos^3(x) abgeleitet hätte...
Danke!! |
