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schlat (schlati)
Neues Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 12:59: | 
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Moin moin,
folgende Aufgabe:
Ein Rechteck hat den Umfang von 30cm.
Wie muss man die Seiten a und b eines Rechtecks wählen, so dass die Diagonale möglichst klein wird?
Meine Lösung:
1. d²=a²+b² //Diagonale mit Hilfe des Pythagoras aus den Seiten berechnen
2. U=2a+2b //Umfang berechnen <-> 2a+2b=30 <-> b=15-a
Einsetzen von 2 in 1:
a²+(15-a)²=d² <-> a²+225-30a+a²=d² <-> 2a²-30a+225=d²
Ableiten:
4a-30=d²
Jetzt kommt ja der entscheidende Schritt:
"d" soll minimal werden, daher = 0 setzen, oder wie hab ich das?
Wenn ja, dann folgt:
4a=30 -> a=30/4=15/2=7.5
Daraus folgt dann natürlich, dass b=7.5, damit wäre das Rechteck ein Quadrat, die Diagonale wäre dann Wurzel(112.5)cm, also ca. 10,6 cm lang.
So, jetzt hätte ich aber folgende Fragen:
1. Wenn die Diagonale so lang wie möglich (eben maximal) hätte werden sollen, wie hätte man das dann gerechnet (theoretisch müsste dann ja eine der beiden Seiten unendlich klein werden, die andere Unendlich groß)?
2. Setzt man generell die erste Ableitung gleich 0, wenn irgendwas minimal werden soll?
3. Wie definiert man Haupt- und Nebenbedingung? (welche meiner beiden Bedingungen ist die Haupt-, welche die Nebenbedingung?)
danke
schlati |
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 13:35: |
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Hallo Schlati,
du hast im Prinzip d² = f(a) = 2a²-30a+225 mit
f'(a) = 4a - 30 und f''(a) = 4 konstant
Und das ist der ganze 'Witz' - f'(a)=0 ist nur notwendig, hinreichend ist f''(a)#0
( Standardbsp. y=x**3, y'=3x**2, y''=6x mit y(0)=y'(0)=y''(0)=0 --> kein Extremum !! )
In deinem Fall ist f''(a) > 0 --> Minimum, die für ein Max. erforderliche Bed. f''(a) < 0 ist unerfüllbar --> es gibt kein Max. (oder Rechteckseite 'unendlich gross' )
Hauptbed. : Diagonale minimal
Nebenbed. : Umfang des rechteckes geg.
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schlat (schlati)
Neues Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 16:18: |
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Ok,
alles klar, danke für die Erläuterung  |
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