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lawinchen (lawinchen)
Neues Mitglied
Benutzername: lawinchen
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 09:17: | 
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Auf N*XN* sei eine Relation R gegeben durch:
(a,b)R(c,d) <==> a*d=b*c
a) Beweise, dass R eine Äquivalenzrelation ist
b) Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4)?
Sorry, ich verstehe irgendwie die Aufgabenstellung nicht. Was ist mit einer Äuivalenzrelation gemeint? Und was mit den Klassen? Ich wüsste nicht, wie ich da irgendwas beweisen und lösen soll. Bitte helft mir. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 686
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 14:55: |
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Hi lawinchen
Erstmal erklär ich vielleicht was eine Äquivalenzrelation ist.
Und zwar stellst du dir erstmal irgendeine beliebige Relation zwischen zwei Elementen vor. Wir bezeichnen diese mal als ~ .
Wenn jetzt folgende drei Dinge gelten, dann hast du eine Äquivalenzrelation:
Seien x,y und z aus einer Menge.
1) x~x
2) x~y => y~x
3) x~y, y~z => x~z
Dann nennt man ~ eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge.
Wir müssen jetzt die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation zeigen:
1) Sie ist reflexiv:
(a,b)R(a,b) <=> a*b=b*a
Stimmt, denn für die natürlichen Zahlen gilt das Kommutativgesetz.
2) Sie ist Symmetrisch:
Aus (a,b)R(c,d) <=> a*d=b*c
folgt (c,d)R(a,b) <=> c*b=d*a
Wie du siehst ist die untere Gleichung im Prinzip die gleiche wie die obere.
3) Sie ist Transitiv:
Aus (a,b)R(c,d) <=> a*d=b*c
und (c,d)R(e,f) <=> c*f=d*e
folgt (a,b)R(e,f) <=> a*f=b*e
Dass die untere Gleichung stimmt, kannst du dir ja aus den beiden oberen herleiten.
Z.B. so:
Multipliziere die mittlere Gleichung mit a:
a*c*f=a*d*e
1.Gleichung benutzen und a*d durch b*c ersetzen:
a*c*f=b*c*e
Durch c teilen:
a*f=b*e
Du musst hierbei halt aufpassen, dass du nicht aus den natürlichen Zahlen rauskommst.
Es handelt sich also tatsächlich um eine Äquivalenzrelation.
b)
Zur Äquivalenzklassen von (3,4) gehören alle Elemente, die in Relation R zu diesem Element stehen. Also:
(3,4)R(a,b) <=> 3b=4a
D.h. alle Elemente, die diese Gleichung erfüllen.
Wir gehen jetzt noch einen kleinen Schritt weiter und mal von natürlichen Zahlen weg, dann können wir die obige Gleichung auch schreiben als:
a/b=3/4
Es erfüllt also praktisch jeder Bruch, der gekürzt 3/4 ergibt diese Gleichung. D.h. es fallen in die Äquivalenzklassen von (3,4) alle Brüche wie 3/4, 6/8, 9/12 usw.
MfG
C. Schmidt
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