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Beitrag |
    
Thorsten (monsgrat)
Junior Mitglied
Benutzername: monsgrat
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 11:17: | 
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Kann mir jemand die Eulerische Differentialgleichunf erklären bzw. einen Link zur einer erklärenden Seite.
Danke im vorraus
Thorsten |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 200
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 23:30: |
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Hi,
das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Ein interessanter Link ist
http://www.s-line.de/homepages/keppler/brachy.htm
Gr
mYthos
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1884
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 07:54: |
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Hi,
Kollege mYthos hat nächtens Dir bereits einen nützlichen Hinweis
zur Eulerschen Differentialgleichung (E-Dgl.). gegeben.
Im Folgenden stelle ich Dir die allgemeine E-Dgl. zweiter Ordnung
samt Lösungsgalerie vor.
Diese Dgl. lautet so:
x ^ 2 * y ´´ + a x * y´ + b y = 0 ; a und b sind gegebene Konstanten.
Massgeblich für den Lösungstyp und die Lösungen selbst
sind die Terme:
D = ( a – 1 ) ^ 2 - 4 b (Diskriminante einer charakteristischen Gleichung)
m = ½ * wurzel D ( m wie megamath ! ).
Zur Abkürzung wird noch A = ½ * ( 1 - a) gesetzt
Es sind drei Fälle zu unterscheiden
1.Fall
D > 0
allgemeine Lösung:
y = x ^A * [ C1 x^m + C2 x ^(-m)¨¨
2.Fall
D = 0
allgemeine Lösung
y = x ^A * [ C1 + C2 * ln (x) ]
3.Fall
D < 0
allgemeine Lösung:
y = x ^A * [ c1 sin (m * ln x) + C2 cos (m * ln x ) ]
C1 und C2 sind Integrationskonstanten,
Die Variable x gehört überall in Absolutstriche eingezäunt.
Lösungshinweis
Verwende die Substitution x = e ^ z
Die unabhängige Variable x wird durch die unabhängige Variable z ersetzt
Du erreichst dadurch, dass die Dgl in eine solche mit KONSTANTEN
Koeffizienten übergeht.
Bestätige das selbst !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Thorsten (monsgrat)
Junior Mitglied
Benutzername: monsgrat
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 14:49: |
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Hi,
Vielen Dank für eure Antworten 
Thorsten |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1885
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. November, 2002 - 14:21: |
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Hi,
Ich bin gebeten worden, die Lösung der Eulerschen Dgl.
x ^ 2 * y ´´ + a x * y´ + b y = 0 ; mit a,b als Konstanten.
noch etwas näher auszuführen.
Gerne komme ich diesem Wunsch entgegen.
Die von mir angegebene Substitution x = e ^ z ( z = ln x)
führt direkt zum Ziel !.
Dabei wird die unabhängige Variable x durch die unabhängige
Variable z ersetzt.
Die gesuchte Funktion ist jetzt Y = Y(z)
Wir erreichen durch diese Substitution, dass die Dgl in eine solche mit
konstanten Koeffizienten übergeht.
Zuerst müssen wir die Ableitungen transformieren.
Benütze dabei: dz /dx = 1/x und unter Rubrik 2 die Produktregel:
1.
y ’ = dy / dx = dy /dz * dz /dx = Y ‘ * 1/x
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2.
y ‘’ = d [dy/dx] / dx = d [dy/dx] / dz * dz/dx
= [Y ‘’ * 1/x + Y ‘ {- e^(-z) } ] * (1/x)
Mit e^(-z) = 1 / x kommt: endgültig:
y ´´ = (1/x) ^2 * [ Y ´´- Y ]
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Setzt man dies in die gegebene Dgl. ein, so kommt:
Y ´´ - Y ´ + a * Y ´ + b * Y = 0 , oder
Y ´´ + ( a – 1 ) Y ´ + b * Y = 0
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Alle Koeffizienten sind konstant !
Es liegt eine homogene lineare Dgl. zweiter Ordnung vor
Die charakteristische Gleichung lautet:
k ^ 2 + ( a – 1 ) * k + b = 0
Die Diskriminante D dieser quadratischen Gleichung in k lautet:
D = ( a – 1 ) ^ 2 - 4 b ,
in Uebereinstimmung mit den Angaben in meiner früheren
Arbeit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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