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Martin (scholle)
Neues Mitglied
Benutzername: scholle
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 01:31: | 
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Hallo,
ich hbb hier eine Aufgabe bei der ich nur teilwiese imstande bin zu lösen.
Ich sehe bei c und d keinen Sinn
Gegeben seien die Punkte A(1/1/-1) B(3/5/1) C(5/5/7) D(-1/0/6)
a) Erstellen einer Gleichung der Ebene durch ABC( hab ich)
b) Zeigen sie, dass Punkt D auf Ebene liegt( hab ich)
c) Begründen sie, dass das Viereck ABCD eben ist
d) Untersuchen Sie, ob der Punkt F(5/6/6) im Dreick ABC liegt
Wär schön, wenn Jemandem die c und d klarer ist als mir.
Grüße
Martin |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 08:57: |
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Hallo
c) Wenn du bewiesen hast, dass der Punkt D ein Element der Ebene durch ABC ist, dann ist damit auch bewiesen, dass das Viereck ABCD eben ist (in einer Ebene liegt).
Was die Frage soll, weiß ich auch nicht.
d)
Die Ebene ABC lässt sich in der Parameterform so darstellen: (x ist ein Vektor; die Zahlen in der Klammer sind natürlich als die Vektoren x1, x2, und x3 zu sehen)
E: x = (1,1,-1) + r*(2,4,2) + s*(4,4,8)
Wenn der Punkt F innerhalb des Dreiecks ABC liegen soll, muss gelten:
0<r<1 und 0<s<1
Um dies zu prüfen, machst du eine Punktprobe:
Ist (1,1,-1) + r*(2,4,2) + s*(4,4,8) mit den Bedingungen = (5,6,6) erfüllbar?
(1,1,-1) + r*(2,4,2) + s*(4,4,8) = (5,6,6)
r*(2,4,2) + s*(4,4,8) = (4,5,7)
-->2r + 4s = 4 I.
-->4r + 4s = 5 II.
-->2r + 8s = 7 III.
------------------
I.-II. ergibt: -2r = -1 ---> r = 0,5
mit Gl. I: s = 0,75
Sind alle Gleichungen mit r = 0,5 und s = 0,75 erfüllbar?
I. ja
II. ja
III. ja
Also liegt der Punkt F im Dreieck ABC.
Alles klar?
MfG Klaus |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1883
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 10:13: |
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Hi Martin,
Die Gleichung der Ebene E, welche durch die Punkte A, B, C bestimmt ist,
lautet (wie man leicht nachrechnet und bestätigt):
3 x – y – z = 3.
Bei der Aufgabenstellung liegt offenbar ein Schreibfehler vor.
Die dritte Koordinate des Punktes D soll – 6 statt 6
lauten, ansonsten liegt D nicht in E.
Kontrolliere diese Aussage durch Einsetzen der Koordinaten
x = -1 , y = 0 , z = - 6 in die Gleichung von E.
Lösung von c) unter Berücksichtigung dieser Korrektur.
Wenn D auf der von A, B, C bestimmten Ebene liegt,
so ist das Viereck à priori ein ebenes Viereck.
Lösung von d)
F liegt in E; Kontrolle durch Einsetzen der Koordinaten von F
in die Ebenengleichung.
Wir ermitteln die Vektoren u = AB, v = AC , f = AF ; es kommt:
u = {2;4;2}
v = {4;4;8}
f = {4;5;7}
Nun stellen wir f als eine Linearkombination von u und v dar:
Ansatz:
f = s * u + t * v
Sollte es sich herausstellen, dass die beiden Parameter s und t
je reelle Zahlen zwischen 0 und 1 sind, so liegt F im Inneren des Dreiecks.
Stelle eine Skizze der Situation her und erinnere Dich
an die Parameterdarstellung einer Ebene.
Ausführung
Die Vektorgleichung des Ansatzes liefert drei skalare Gleichungen:
2s + 4t = 4
4s + 4t = 5
2s + 8t = 7
Aus den ersten beiden Gleichungen berechnest Du
s = ½ , t = ¾
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Die dritte Gleichung ist von selbst erfüllt, da F in E liegt.
Wir bestätigen:
F liegt im Inneren des Dreiecks.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath und Elsa (im Team)
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Martin (scholle)
Neues Mitglied
Benutzername: scholle
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 17:17: |
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Danke Klaus,
Danke Megamath,
sorry, dass ich mich nicht früher geäußert hab...
Megamath du hast natürlich Recht. Da is mir ein Schreibfehler untergekommen.
Also vielen Dank an euch
Grüße
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