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missi (missi)
Mitglied
Benutzername: missi
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. November, 2002 - 20:37: | 
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geg.: Kreis mit M(2/1) und r=2
ges.: Unter welchem Winkel schneiden sich die Tangenten, wenn man diese an den oberen Halbkreis in den Stellen 1 und 3 anlegt?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die Lösung dieser Aufgabe idiotensicher und ganz genau erklären könnte. Was würde sich an dem Lösungsweg ändern, wenn die Tangenten an den unteren Halbkreis gelegt würden? Kann mir bitte jemand helfen? |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 09:41: |
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Hallo
Diese Aufgabe lässt sich mit einigen Winkelberechnungen schnell berechnen:
Zuerst berechnest du die Berührpunkte B1 und B2:
Nach Pythagoras:
r2 = 12 + a}+{2}
(12, weil Die Differenz der x-Koordinate des Mittelpunktes und des Berührpunktes 1 ist).
a = Wurzel(4-1)
a = Wurzel(3)
Damit ist B1(1/Wurzel(3)+1) und B2 (3/(Wurzel(3)+1).
Der Winkel ZMB1 sei alpha.
Dann ist cosinus alpha = ZM/r (ZM = 1, r = 2)
cosinus alpha = 1/2
alpha = 60°
alpha und beta müssen zusammen 90° ergeben:
beta = 90°-alpha
beta = 30°
Im Viereck M B2 S B1 beträgt die Winkelsumme 360°. Da 2 rechte Winkel vorhanden sind und der Winkel beta ebenfalls 2 mal auftritt, beträgt der Schnittwinkel der beiden Tangenten 360°-2*90°-2*beta = 120
MfG Klaus
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Ferdi Hoppen (tl198)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 09:50: |
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hi, ich hätte noch ne zweite möglichkeit um diese aufgeab schnell und sicher zu lösen, aber obs idiotensicher is weiß ich nich. kreise hab ich auch schon länger nich behandelt.
also ich weiß noch, dass eine Tangente in B (b1|b2) an einen Kreis mit dem Mittelpunkt (M1|M2) und dem radius r die gleichung hat:
(x-M1)(b1-M1)+(y-M2)(b2-M2)=r^2
setzen wir mal ein:
aber halt, da fehlt uns noch die y-Koordinate von b2! die erhalten wir durch einsetzen in die Kreisgleichung:
(x-2)^2+(y-1)^2=4
für b=1:
(y-1)^2=3
y=±sqrt(3)+1
wir nehmen hier die positive lösung da die tangenten ja oberhalb liegen sollen!
und nun los:
Kreistangentengleichung:
(x-2)(1-2)+(y-1)(sqrt(3)+1-1)=4
-x+sqrt(3)*y=2+sqrt(3)
so nun für b=3
(y-1)^2=3
y=±sqrt(3)+1 es ergibt sich dasselbe!
wieder die positive lösung
(x-2)(3-2)+(y-1)(sqrt(3)+1-1)=4
x+sqrt(3)*y=6+sqrt(3)
unsere Tangenten lauten also:
für b=1
-x+sqrt(3)*y=2+sqrt(3)
für b=3
x+sqrt(3)*y=6+sqrt(3)
Die Steigung bei b=1 ist (1/sqrt(3)),
die steigung bei b=3 ist -(1/sqrt(3))!
Schnittwinkel zweier Geraden:
tan d =(m1-m2)/(1+(m1*m2)
tan d =(2/sqrt(3))/(2/3)
tan d = sqrt(3)
und arctan von sqrt(3) ist ja bekanntlich 60°!
D.h. die beiden Tangenten schneiden sich uneter einem Winkel von 60°!!
Auf den zweiten teil deiner frage komme ich später noch einmal zu sprechen!
mfg
tl198
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 10:06: |
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Hallo
in der 4.Zeile muss es natürlich heißen:
r2 = 1 + a2
MfG Klaus |
