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Elke (mahabi)
Neues Mitglied
Benutzername: mahabi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. November, 2002 - 18:10: | 
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Hallo!
Es wäre sehr nett, wenn uns jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte!
Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten a, b, c, d, e, f der Funktion f mit f(x)=ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f erfüllen, damit sie folgende Eigenschaften besitzt.
(die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander. Es sind nicht unbedingt Bedingungen für alle Koeffizienten anzugeben.)
a) Graph f ist symmetrisch zum Ursprung
b) f besitzt im Ursprung ein Minimum
c) Graph schneidet die y-Achse im Punkt D (0/6)
d) f besitzt maximal vier Nullstellen
e) f besitzt vier Wendestellen. |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 516
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. November, 2002 - 20:19: |
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Da in den Teilaufgaben Minima und Wendestellen auftauchen, ist es nötig zunächst die Ableitungen der Funktion zu bestimmen.
f '(x)=5ax4+4bx³+3cx²+2dx+e
f ''(x)=20ax³+12bx²+6cx+2d
a) -f(x)=f(-x) <=> -ax5-bx4-cx³-dx²-ex-f = -ax5+bx4-cx³+dx²-ex+f <=> b=d=f=0
b) 1.Möglichkeit : f(0)=0 und f'(0)=0 und f''(0)>0
=> f=e=0 und d>0
2.Möglichkeit : f(0)=f '(0)=f ''(0)=f '''(0)=0 und f(4)(0)>0
=> f=e=d=c=0 und b>0
c) f(0)=6 => f=6
d) a=0 (sofern identische Nullstellen mehrfach zählen)
e) nicht möglich, da f '' als Funktion 3.Grades maximal 3 Nullstellen besitzt.
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Elke (mahabi)
Neues Mitglied
Benutzername: mahabi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 15:11: |
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Hallo Ingo!
Danke für deine schnelle und ausführliche Antwort!
Trotzdem habe ich noch ein paar Fragen:
zu a) wieso ist das äquivalent zu b=d=f=0
ich habe versucht das nachzuvollziehen und bis -bx^4 - dx^2 - f = 0 umgeformt.
Folgt daraus, dass b=d=f=0 ist?
b) Wie kommst du aus die zweite Möglichkeit?
Ist die hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt nicht, dass f''(0) > 0 sein muss?
Wie kann das bei dir gleich null sein?
d) Wie kommst du zu a=0?
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 15:35: |
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Hallo
a) Ich würde es so sagen: Funktionen, die (punkt-)symmetrisch zum ursprung sind, dürfen nur ungerade Hochzahlen aufweisen Ein Absolutglied darf ebenfalls nicht vorhanden sein.
Dann müsste die Funktion ja so aussehen:
f(x) = ax5 + cx3 + x
Damit muss b,d,f 0 sein.
-bx^4 - dx^2 - f = 0
Damit diese Gleichung 0 ist, muss b,d,f 0 sein.
qed.
d)
Eine Funktion hat maximal soviele Nullstellen entsprechend ihre höchste Potenz ist. KLingt jetzt ein bisschen blöd.
Bsp:
Eine Funktion 3. Grades hat höchstens 3 Nullstellen. Ein Funktion 7.Grades maximal 7 Nullstellen.
Dass die Funktion maximal 4 Nullstellen besitzt, muss eben die höchste Potenz 4 sein. Damit muss 0 sein.
MfG Klaus |
Elke (mahabi)
Neues Mitglied
Benutzername: mahabi
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 15:48: |
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Vielen Dank, Klaus, jetzt hab ichs auch verstanden.
Ich hab noch mal so eine Frage: Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, dann hat sie doch nur gerade Exponenten, oder? |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 16:25: |
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Hi Elke!
Genau!
Dann ist es aber egal, ob die Funktion ein Absolutglied hat oder nicht!
MfG Klaus |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 521
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 18:48: |
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Nochmal zu b)
Die Bedingung f''(x)>0 ist hinreichend, aber nicht notwendig für ein Minimum.
Schau Dir zum Beispiel die Funktion f(x)=x4 an. Sie hat in x=0 ein Minimum, obwohl f''(0)=12*02=0
In diesem Fall greift ein allgemeineres Kriterium:
Ein Minimum liegt vor, wenn es ein nÎIN gibt für das f(2n)(x)>0 und f(k)(x)=0 für 0<k<2n
(Auf deutsch: Die erste Ableitungsfunktion, für die ein Wert größer 0 angenommen wird, muß gerade sein)
(Beitrag nachträglich am 03., November. 2002 von ingo editiert) |
Elke (mahabi)
Junior Mitglied
Benutzername: mahabi
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 17:00: |
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Hallo!
b) die Äquivalenzumformung bei b finde ich doch noch nicht ganz logisch;
Klaus hatte geschriebn
> -bx^4 - dx^2 - f = 0
>Damit diese Gleichung 0 ist, muss b,d,f 0 sein.
aber mal angenommen x wäre 1, dann könnte b doch z. B. 9; d = 6 und f = 3 sein; Oder muss diese Äquivalenzumformung für jedes beliebige x gemacht werden und ist deshalb äquivalent?
und zu
d)"Eine Funktion hat maximal soviele Nullstellen entsprechend ihre höchste Potenz ist."
wenn f jetzt maximal 4 Nullstellen hat; könnte das dann nicht immer noch eine Funktion 5.Grades sein, weil es ja nicht heißt, dass jede Funktion 5. Grades 5 Nullstellen haben MUSS, es könnte ja auch sein, dass sie zum Beispiel nur 3 Nullstellen hat.
Kann man daraus also wirklich folgern, dass a=0 sein muss? und die Funktion keine Funktion 5. Grades sein KANN?
Oder habt Ingo das mit "(sofern identische Nullstellen mehrfach zählen)" schon ausreichend eingeschränkt so das a 0 sein muss?
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 525
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. November, 2002 - 00:22: |
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Hallo Elke,
bei a) ist entscheidend, daß die Funktion symmetrisch ist.
Also gilt für beliebige Werte von x die Gleichung f(-x)=-f(x) und nicht nur für einzelne Werte von x
zu d) Sicherlich gibt es Funktionen 5.Grades, die weniger als 4 Nullstellen haben, beispielsweise x5-x, aber dafür wirst Du kaum oder nur schwer ein allgemeines Kriterium finden. Insofern kann die Existenz von maximal 4 Nullstellen nur durch a=0 sichergestellt werden.
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Elke (mahabi)
Junior Mitglied
Benutzername: mahabi
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. November, 2002 - 19:26: |
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Hallo Ingo!
Danke, dass du dir soviel Mühe machst!
um sicherzugehen:
a)also kann ich schreiben
-bx^4 - dx^2 - f = 0
<->b=d=f=0
d) a muss nicht 0 sein
aber wenn a 0 ist dann hat die Funktion maximal 4 Nullstellen
also kann ich doch eigentlich auch nicht a=0 schreiben, weil a ja nicht 0 sein muss.
genaugenommen kann man also wohl gar keine eindeutige Bedingung für einen Koeffizienten aus d) ziehen
Aber ich glaub soweit ist mir das jetzt alles klar, vielen lieben Dank nochmal! |
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