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Beitrag |
    
Miriam (mmemim)
Junior Mitglied
Benutzername: mmemim
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 05-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 11:20: | 
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Hallo Ihr!
Ich habe die Aufgabe gestellt bekommen mir ein Beispiel für eine Funktion f:[0,1]->R ausdenken, die zwar stetig, aber in unendlich vielen Punkten differenzierbar ist.
Ich weiß keine.Ihr?
DANKE! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 624
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 12:02: |
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FRAGE OFFEN
da ist wohl entweder gemeint,
a) NICHT stetig aber in unendlich vielen Punkten differenzierbar
oder
b) stetig aber in unendlich vielen Punkten NICHT differenzierbar.
zu b) fällt mir nichts ein,
für
a)
genügt ein einziger Punkt a, 0 < a < 1,
für
den mit 0 < d
gilt
limd -> 0f(a+d) <> limd -> 0f(a-d) .
also
eine Funktion deren Graph bei x=a ein Stückchen
senkrechte Linie enthält.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
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Miriam (mmemim)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mmemim
Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 05-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 14:47: |
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HI! Du hast recht. Ich habe das NICHT vergessen abzutippen. Meine Güte, wird nicht wieder vorkommen. Also ist es fall b. Dazu fällt Dir nichts EIN? Vielleicht gibt es das ja dann gar nicht.
Gruß Miriam |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 520
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 18:38: |
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Es gibt sogar sehr viele davon. Alles was man wissen muß ist, daß die Betragsfunktion in x=0 nicht differenzierbar ist. Um also eine Funktion zu konstruieren, die in unendlich vielen Stellen nicht differenzierbar ist, brauchen wir uns nur eine Funktion mit unendlich vielen Nullstellen auszudenken, die in diesen Nullstellen eine Steigung ungleich 0 hat.
Beispiele wären somit
f(x)=|sin(x)| g(x)=|tan(x)| h(x)=|cos(ex)|
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 671
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 19:06: |
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Hi Ingo
Die Funktion sollte aber doch [0;1] als Definitionsbereich haben. Und da hat |sin(x)| doch nur eine Nullstelle. Ähnliches gilt auch für deine anderen Funktionen.
Oder habe ich da was falsch verstanden??
MfG
C. Schmidt |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 522
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 00:49: |
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ok, das hatte ich überlesen. Ändert aber nichts an der Kernaussage, daß wir nur eine Funktion finden müssen, die in [0,1] unendlich viele Nullstellen mit f'(x)¹0 hat.
Dies ist beispielsweise für x*sin(1/x) der Fall, wobei wir für x=0 noch eine stetige Fortsetzung angeben müßten.
f(x)=|x*sin(1/x)| für xÎ]0,1] und f(0)=0
(Beitrag nachträglich am 04., November. 2002 von ingo editiert) |
