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Vollständige Induktion - Hilfe beim U...

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Jezz (jezz)
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Benutzername: jezz

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 16:01:   Beitrag drucken

a) 1/ (1*3) + 1/ (3*5) + ... + 1/ ( (2n-1)(2n+1))= n/ (2n+1)

Habe nun so weit alles hingeschrieben, schaffe es jedoch nicht, den Term

n/ (2n+1) + 1/ ((2n-1)(2n+3)) zu

(n+1)/ (2n+3) umzuformen..
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 658
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 16:23:   Beitrag drucken

Hi Jezz

Das soll sicher heißen
n/(2n+1) + 1/((2n+1)(2n+3))
=(n(2n+3)+1)/((2n+1)(2n+3))
=(2n^2+3n+1)/((2n+1)(2n+3))
=(n+1)(2n+1)/((2n+1)(2n+3))
=(n+1)/(2n+3)

MfG
C. Schmidt
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Jezz (jezz)
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Neues Mitglied
Benutzername: jezz

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 16:23:   Beitrag drucken

Ja, so war es richtig! Kannst du mir hier auch mal helfen?
1²/ (1*3) + 2²/ (3*5) + ... + n²/ ( (2n-1)(2n+1)) = (n (n+1))/ ( 2(2n+1))

Habe alles umgeformt und komme hier nicht weiter:

(n (n+1))/ (2 (2n+1)) + ( (n+1)²) / ( (2n+1)(2n+3))

soll ( (n+1)(n+2))/ (2(2n+3))
sein. Nur wie komme ich durch Umformungen darauf?
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 654
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 18:15:   Beitrag drucken

Hi Jezz

(n(n+1))/(2(2n+1))+((n+1)²)/((2n+1)(2n+3))
=(n(n+1)(2n+3))/(2(2n+1)(2n+3))+(2(n+1)²)/(2(2n+1) (2n+3))
=[n(n+1)(2n+3)+2(n+1)²]/(2(2n+1)(2n+3))
=[(n+1)(2n²+3n+2n+2)]/(2(2n+1)(2n+3))
=[(n+1)(2n²+5n+2)]/(2(2n+1)(2n+3))
=[(n+1)(n+2)(2n+1)]/(2(2n+1)(2n+3))
=(n+1)(n+2)/(2(2n+3))

Du musst halt immer am besten einfach die Nenner gleichnamig machen und dann alles auf einen Bruch schreiben. Da du ja eh schon weisst, was rauskommen soll, siehst du ja auch schnell was du ausklammern kannst und was nicht.(Oder jedenfalls weisst du, was du als erstes versuchen solltest, z.B. bei meiner Rechnung in Zeile 5. Da brauchst du dir gar nicht groß überlegen, wie du das in Linearfaktoren aufspalten kannst, sondern schaust einfach wie es sein muss, damit deine Lösung richtig ist)

MfG
C. Schmidt
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Jezz (jezz)
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Benutzername: jezz

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 09:45:   Beitrag drucken

Erst einmal danke!
Ich glaube, dir ist zwischen der 3. und 4. Zeile ein Fehler unterlaufen..
=[n(n+1)(2n+3)+2(n+1)²]/(2(2n+1)(2n+3))
=[(n+1)(2n²+3n+2n+2)]/(2(2n+1)(2n+3))

Müsste das nicht:
(n+1) (2n²+3n + 2(n²+2n+1)
= (n+1) (2n²+3n + 2n²+4n + 2
im Zähler sein?
Könntest du den Rest dann noch mal aufschreiben?
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 661
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 11:17:   Beitrag drucken

Hi Jezz

Betrachten wir mal nur den Zähler. Ich hätte vielleicht noch einen Schritt mehr notieren sollen.
n(n+1)(2n+3)+2(n+1)²
=(n+1)[n*(2n+3)+2*(n+1)] [Ich habe da (n+1) ausgeklammert]
=(n+1)[2n²+3n+2n+2]

MfG
C. Schmidt

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