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Florian (zenski)
Mitglied
Benutzername: zenski
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 08:29: | 
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Ich brauche die Hilfe bei Folgenden Aufgaben. Wenn es geht, mit einer möglichst ausführlichen Erklärung, damit ich diese nachvollziehen kann.
Bestimme eine Funktion der Form
f(x) -> ax^3 + bx^2 + cx + d
die im Punkt (-1|6) einen Hochpunkt und in (0|4) einen Wendepunkt hat.
UND
Beweise, dass für jede ganzrationale Funktion 2. Grades die Stelle a des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung der Mittelpunkt des gewählten Intervalls ist.
Danke für Eure Hilfe! |
SquareRuth (squareruth)
Neues Mitglied
Benutzername: squareruth
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 12:31: |
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Hi Florian,
Ausgangspunkt bei solchen Aufgaben ist immer die allgemeine Funktiongleichung; d.h. bei Funktionen 3. Ordnung
f(x) = ax³ + bx² + cx +d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Jetzt müssen die Bedingungen aufgestellt werden, um die Koeffizienten a,b,c und d zu bestimmen:
1. Bedingung
Der Punkt (-1; 6) liegt auf dem Graphen der Funktion; d.h. (-1;6) in f(x) einsetzen
f(-1) = -a + b – c + d = 6
2. Bedingung
Der Punkt (0;4) liegt auf dem Graphen der Funktion; d.h. (0;4) in f(x) einsetzen
f(0) = d = 4
Damit ist der Koeefizient d schon bestimmt: d=4
3. Bedingung
Hochpunkt bei (-1;6); d.h. bei x=-1 hat f'(x) den Wert 0.
f'(-1) = 3a –2b + c = 0
4. Bedingung
Wendepunkt bei (0;4); d.h. bei x=0 hat f''(x) den Wert 0
f''(0) = 2b = 0
Damit ist auch der Koeffizient b schon bestimmt: b=0
aus (1)
-a + b – c + d = 6
mit b=0 und d=4
-a – c + 4 = 6
(5) a = - c - 2
aus (3)
3a – 2b + c = 0
mit b=0
3a + c = 0
(6) 3a + c = 0
(5) in (6) eingesetzt
3(-c-2) + c = 0
-2c = 6
c = -3
in (6) eingesetzt
3a – 3 = 0
a = 1
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also
f(x) = x³ - 3x + 4
Für Deine 2. Aufgabe habe ich leider noch keine zündende Idee.
Gruß, SquareRuth |
Ferdi Hoppen (tl198)
Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 12:46: |
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ganz fix gehts!
f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Vier Bedingungen sind nötig:
die im Punkt (-1|6) einen Hochpunkt und in (0|4) einen Wendepunkt hat.
=> I)f(-1)=6, II)f'(-1)=0, III)f(0)=4, IV)f''(0)=0
=> Vier Gleichungssysteme:
I)a*-1^3+b*-1^2+c*-1+d=6
II)3a*-1^2+2b*-1+c=0
III)a*0+b*0+c*0+d=4
IV)6a*0+2b=0
=> Lösung des Systems: a=1, b=0, c=-3, d=4.
Die Funktion lautet x^3-3x+4. Leite noch mal ab und überprüfe auf extrema und wendepunkte ob dies auch stimmt. Dies ist die Probe (sie wird stimmen).
mfg
tl198
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