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Florian (zenski)
Junior Mitglied
Benutzername: zenski
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 14:18: | 
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Könnte mir jemand einen einfachen Weg erklären, mit dem die 2-te, 3-te oder auch n-te Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion berechnet? Eine Berechnung mit der Quotientenregel ist beim Bestimmen der ersten Ableitung ja kein Problem, doch je weiter man versucht damit abzuleiten, desto größer wird der Rechenaufwand.
Ich glaube, dass man die Kettenregel hierfür einsetzen kann, bin mir aber nicht ganz sicher wie das in diesem Fall ablaufen soll.
Ich gebe ein Beispiel vor:
f(x) = (x^3-x)/(x^2-4)
f'(x) = (x^4-11x^2+4)/(x^2-4)^2
Wie komme ich jetzt am einfachsten zu:
f''(x) = (6x^3+72x)/(x^2-4)^3 ??
Danke für die Hilfe!
Gruss Zenski |
Ferdi Hoppen (tl198)
Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 16:07: |
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Naja,
an der Guten alten Quotientenregel kommst du wohl nicht vorbei, aber bei der zweiten ableitung kannst du den nenner per Kettenregel ableiten so das er sich einmal rauskürzt!
Also:
f'(x)=(x^4-11x^2+4)/(x^2-4)^2
f''(x)=[(4x³-22x)*(x²-4)²]-[(2x)*2*(x^2-4)*(x^4-11 x^2+4)]/(x^2-4)^4
so und nun aufgepasst:
f''(x)=[(4x³-22x)*(x²-4)²]-[(2x)*2*(x^2-4)*(x^4-11x^2+4)]/(x^2-4)^4
wenn man das blaue rauskürzt, ergibt sich:
f''(x)=[(4x³-22x)*(x²-4)]-[(2x)*2*(x^4-11x^2+4)]/( x^2-4)³
ausrechnen (wohl das geringste Problem):
f''(x)=(6x^3+72x)/(x^2-4)^3 q.e.d.
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