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Claudi (abi03)
Neues Mitglied
Benutzername: abi03
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Oktober, 2002 - 14:06: | 
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Hi!
Ich grübele hier gerade über eine Aufgabe, wo ich gar nicht weiß, wie die Basisrechnungen aussehen. (tja, über die Ferien vergisst man alles ;-))
Es geht dabei um die Berechnung des Abstands zwischen einer Ebene zum Nullpunkt. Eine Gerade ist dabei gegeben und man soll mithilfe eines Lots des Lotfußpunkt, und außerdem die Länge des Lots, von der Ebene bis zum Nullpunkt berechnen.
!Dabei muss man erst einmal herausfinden, ob die Gerade und die Ebene auf der gleichen Seite od verschiedenen Seiten des Nullpunkts sich befinden.!
Wie bekommt man das heraus??? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Oktober, 2002 - 15:31: |
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Wenn du mir genaue werte angibst kann ich dir das mal als Komplettlösung vorrechnen!
Ausserdem möchtest du den abstand der ebenen zum nullpunkt, oder den der ebenen zur geraden. Bite formuliere deine Frage so genau wie es geht.
Warte auf deine Werte.
mfg
tl198 |
Claudi (abi03)
Neues Mitglied
Benutzername: abi03
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Oktober, 2002 - 18:39: |
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Cool, dass gleich jemand antwortet! :-)
also die Gerade lautet folgendermaßen: (hoffe, die Schreibweise ist nicht allzu ungenau und du blickst durch ;-))
(Vektor)x = (9,5,7)+s(-7,-4,-4)
die Ebene ist nur in Normalenform gegeben:
(2,-2,1).(Vektor)x =6
Gefragt ist die Länge und der Lotfußpunkt des vom Nullpunkt auf die Ebene gefällten Lotes!
Vielen Dank schon mal im Vorraus!!!
Claudi
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Ferdi Hoppen (tl198)
Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Oktober, 2002 - 19:41: |
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Nabend
Also was die Gerade dann damit zu tun hat ist für mich schleierhaft.
Wir brauchen nur die Ebene und den Punkt O (0|0|0).
Zuerst einmal brauchen wir die Koordinatenform der Ebene. Diese Erhalten wir durch ausmultiplizieren der Normalenform!
(2,-2,1).(Vektor)x =6
=> 2x-2y+z=6
So, den Lotfußpunkt von O auf der Ebene berechnen wir, indem wir die Gerade die senkrecht auf der Ebene steht und durch O verläuft mit der Ebene schneiden. Hört sich schwierig an.
Nun ein Richtungsvektor für die Geraden der senkrecht auf der Ebenen steht haben wir ja schon, das ist der Normalenvektor der Ebene! Dann heißt unsere Gerade (0,0,0)+r*(2,-2,1).
Diese schneiden wir nun mit der Ebene. Jeder Punkt dieser Geraden hat ja die Form Q (2r|-2r|r). Dies setzen wir jetzt in die Koordinatenform der Ebene ein!
2*(2r)-2*(-2r)+r=6
4r+4r+r=6
r=2/3
Wir erhalten den Lotfußpunkt von O auf E indem wir r=(2/3) ind Geradengleichung einsetzen!
(0,0,0)+r*(2,-2,1) mit r=(2/3)
=> Lotfußpunkt L [(4/3)|-(4/3)|(2/3)]
So nun die Länge des Lotes d!
Diese ergibt sich als Betrag des Vektors von O zu L!
d.h. |O-L|=d
(0,0,0)-[(4/3)|-(4/3)|(2/3)]=[-(4/3)|(4/3)|-(2/3)]
[-(4/3)|(4/3)|-(2/3)] ist unser Vektor OL. Nun den Betrag hiervon:
Wurzel[-(4/3)^2+(4/3)^2+(-(2/3)^2)]=2
Dasheißt die Länge des Lotes beträgt 2!
Falls du willst hätte ich noch einen schnelleren Lösungsweg in petto. Und was mit der Gerade gemeint ist kannst du mir auch noch mal schreiben!
Also melde dich noch mal!
mfg
tl198 |
Claudi (abi03)
Neues Mitglied
Benutzername: abi03
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Oktober, 2002 - 20:16: |
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Hallo!
Deine Erklärung war doch ziemlich verständlich und ich habe es auch gleich nochmal für mich selber gerechnet!
Tja, die Gerade hat wohl wirklich nichts damit zu tun. Aber diese Rechnung, die wir soeben vorgenommen haben, weil nur ein Teilaufgabe, nämlich a).
In b) sollen wir den Schnittpunkt und die Größe des Schnittwinkels von der Ebene und der Geraden errechnen! Da war die Geradengleichung dann schon wichtig ;-)
Aber die Aufgabe habe ich nun schon komplett fertig! Wir haben über die Ferien mehrere Aufgaben aufbekommen, die wir höchstwahrscheinlich morgen (1.Schultag nach Herbstferien :-( )wohl abgeben müssen!
Du kannst mir gerne noch mal den schnelleren Lösungsweg der Aufgabe schreiben! Man kann ja nie zu viel wissen :-)
Also, vielen Dank für deine Hilfe! ;-)
Claudi |
Ferdi Hoppen (tl198)
Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Oktober, 2002 - 21:31: |
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Gerne, es ist doch immer gut, wenn man sieht das auch andere sich für Mathematik interesieren!
Also zu der schnelleren Methode!
Den Lotfußpunkt und die Länge des Lotes braucht man ja zu nichts anderem, als den Abstand eines Punktes zu einer Ebene oder einer Gerade zu bestimmen. Die Länge(Betrag) des Vektors vom Lotfußpunkt (der befindet sich ja auf der Geraden oder Ebene) zum gegebenen Punkt ist ja der Abstandt vom Punkt zur Ebene/Gerade. Der Abstand ist nämlich die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten.
Naja nun gibt es eine Methode da brauchst du nur den Punkt einsetzen und schwups hast du den Abstand!
Man braucht:
Den Punkt (hier O (0|0|0) und die, das ist vielleicht neu für dich, die Hessesche-Normalenform(HNF) der Ebene(Gerade).
Die Hessesche-Normalenform, ist wie der eine Teil sagt eine Normalenform, das Hesse besagt das man anstatt des Normalenvektors der Ebene, den EInheitsnormalenvektor nimmt! Dies ist der Normalenvektor normiert auf die Länge 1, indem man ihn durch seinen Betrag teilt!
So nun brauchst du nur noch den gegeben Punkt in die HNF einsetzen und das Ergebnis ist der Abstand des Punktes von der Ebene!
So viel geschrieben, lass uns einfach mal rechnen! Dann siehst du das dies viel schneller geht!
(2,-2,1).(Vektor)x =6
=> 2*x-2*y+z-6=0
So der Betrag der Normalenvektors ist sqrt(2^2+^(-2^2)+1^2)=3
Nun musst du alles, auch das Absolutglied durch diesen Betrag teilen, also:
|[2*x-2*y+z-6]/3=e|
Der Betrag dieser Gleichung entspricht unserem Abstand!
Setzen wir nun den Punkt ein ergibt sich
|([2*0-2*0+0-6]/3)=e|
e=2
Der Abstand ist zwei! Das nun in 3(!!) Schritten!
mfg
tl198
Info zu Hesse:
Ludwig Otto Hesse, 1811-1874; die Nach ihm benannte Hesseform fand er 1865 |
Claudi (abi03)
Neues Mitglied
Benutzername: abi03
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Oktober, 2002 - 19:33: |
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Hi
Tja, das ist allerdings ein wirklich rascher Lösungsweg... im Unterricht haben wir die Aufgaben jetzt auch besprochen und wir haben diese dann auch auf die "kurze" Weise gemacht ;-)
Hmm...ich glaube, als mein Arm ununterbrochen in die Höhe schnellte, also beim Melden, hat mein Lehrer ziemlich dumm aus der Wäsche geguckt.. fand ich lustig!
Jedenfalls danke nochmal für deine Hilfe!
Ciao denn, Claudi |
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