| Autor |
Beitrag |
    
Atti
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 21:29: | 
|
Hallo! ich weiss noch nicht mal, ob das so richtig geschrieben ist, geschweige denn, was damit gemeint ist.
Also, wer kann mir helfen? Ich verstehe das mit dem u und v´oder u´und v????????? nicht so ganz.
Danke schonmal
Atti |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 02:54: |
|
Die partielle Integration oder auch Produktintegration verwendet man oft, wenn man ein Produkt integrieren muss; für ein Produkt f(x)*g(x) gibt es aber keine offensichtlich erkennbare Stammfunktion. Als Hilfsmittel gibt es die partielle Integration.
Dabei gilt
ò u(x)*v'(x) dx = [ u(x)*v(x)] - ò u'(x)*v(x) dx.
Diese Integrationsmethode 'schaufelt' das Problem von ò u*v' dx nach ò u'*v dx :
Man wählt f(x)=u(x) und g(x)=v'(x) und hofft, dass man damit die Stammfunktion ermitteln kann.
Das in der eckigen Klammer ( also [u(x)*v(x)] ) ist dann schon ein Teil der Stammfunktion und ist fertig,
für das dahinterstehende -ò u'(x)*v(x) dx musst Du noch eine Stammfunktion finden.
Das Prinzip ist, dass man hofft, dass es möglich ist, für -ò u'(x)*v(x) dx eine Stammfunktion zu finden, da es für -ò u(x)*v'(x) dx nicht möglich ist.
Als Beispiel (ohne Integrationsgrenzen):
I = ò 3x*e^(2x) dx
Eine Stammfunktion dieses Produktes kann man ohne die einfachen Integrationsmethoden ( z.B.: die Stammfunktion von x ist (1/2)*x^2 )nicht ermitteln . Deswegen versuchen wir die partielle (Produkt-) Integration:
Du wählst eine Funktion als u(x) und die andere als v'(x):
u(x)=3x und v'(x)=e^(2x)
Jetzt ermittelst Du die Ableitung von u(x)=3x, also u'(x)=3.
und brauchst auch noch v(x), also eine Stammfunktion von v'(x)=e^(2x) : die (einfachste) ist v(x)=(1/2)*e^(2x) : Probe durch Ableiten !
Die partielle Integration lautet
ò u(x)*v'(x) dx = [ u(x)*v(x)] - ò u'(x)*v(x) dx
Also :
I = ò 3x*e^(2x) dx = [3x*(1/2)*e^(2x)] - ò 3*(1/2)*e^(2x) dx = [3x*(1/2)*e^(2x)] - [3*(1/2)*(1/2)*e^(2x)] = [(3x/2-3/4)*e^(2x)]
Also F(x) = (3x/2-3/4)*e^(2x)
Beim Üben machst Du immer die Probe durch Ableiten (hier Produktregel):
F'(x) = (3/2)*e^(2x) + (3x/2-3/4)*2*e^(2x) = (3/2)*e^(2x)+3x*e^(2x)-(3/2)*e^(2x) = 3x*e^(2x) : stimmt.
Wenn Du aber am Anfang u(x)=e^(2x) und v'(x)=3x gewählt hättest, dann wäre u'(x)=2x und v(x)=(3/2)*x^2 , und das zu lösende Problem würde 'schlimmer' werden: man muss also immer ein bissle rumprobieren und mit der Zeit bekommst Du ein Gefühl dafür, ob die partielle Integration klappt, oder ob Deine Wahl von u(x) und v'(x) ungeeignet war.
ciao |
|
