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Beitrag |
    
Angela
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 21:14: | 
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Wann benutzt man Substitution?
Danke, vielleicht ein Beispiel? |
Brainstormer (Brainstormer)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 00:40: |
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tach,
substitution ist wahrscheinlich die am meisten benutzte methode um ein Integral zu bestimmen, immer dann wenn man ein Integral nicht direkt integrieren kann. Hier ist ein einfaches Beispiel:
ò0 p x*sin(x2)dx
dieses integral kann nicht einfach so integriert werden da das x vor dem sinus sitzt und man ein proukt mit einfachen mitteln nicht integrieren kann.
Dahr substituiert man x2=u => 2xdx=du =>xdx=du/2
jetzt wird einfach ins vorhandene Integral eingestzt, so dass nun
ò0 p sin(u)du = cos u
jetzt wieder zurueck nach x
cos x2 von 0 nach p also
cos p2-cos 0
das waere dann die loesung dieses integrals(etwa -0.0148) |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 02:11: |
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Hi Angela: leider ist das obige Beispiel etwas falsch.
Die Substitution beim Integrieren klappt auf alle Fälle immer dann, wenn ein Fall der folgenden Fälle erfüllt ist:
1.) "Ableitung des Nenners ist Vielfaches des Zählers"
Der Integrand (also die zu integrierende Funktion) ist ein Bruch, und der Zähler z(x) ist ein (konstantes) Vielfaches der Ableitung des Nenners n'(x), z.B.
ò 3x/(x^2+1) dx
Hier ist der Zähler z(x)=3x und die Ableitung des Nenners ist n'(x)=2x
Also ist z(x)=(3/2)*n'(x)=3*x und die Substitution klappt: u(x)=x^2+1; du/dx=2x; dx=1/(2x)*du und damit
ò 3x/(x^2+1) dx = ò (3x/u)*1/(2x) du = ò 3/(2u) du =ò (3/2)*1/u du = [(3/2)*ln|u|] = [(3/2)*ln(x^2+1)] : nach dem letzten Gleichheitszeichen wurde u wieder mit x^2+1 ersetzt!
(Beachte, dass die Stammfunktion von 1/u die Funktion ln|u| (also logarithmus von Betrag von u) ist, vergiss die Betragstriche nicht; die können dann weggelassen werden, da x^2+1>0 gilt !)
Mach die Probe durch Ableiten !
Der Grund, dass die Substitution klappt, liegt darin, dass bei der Substitution dx mit du ersetzt werden muss: da aber du/dx ein Vielfaches des Zählers ist (hier im Beispiel 2*x), und dx="der Kehrwert dieser Ableitung * du" ist (hier im Beispiel 1/(2x) du), wird sich der Ausdruck im Zähler, der x enthält (hier 3x) so wegkürzen lassen, dass nur eine Zahl (hier 3) im Zähler verbleibt: es bleibt das Problem, ein Vielfaches (hier 3/2) von 1/u zu integrieren; die Stammfunktion ist aber ein Vielfaches von ln|u| (hier nämlich (3/2)*ln|u|), und man hat es geschafft.
2.)"Du musst ein Produkt f(x)*g(x) integrieren, wobei die Ableitung der 'inneren' Funktion von g(x) ein (konstantes) Vielfaches von f(x) ist"
Ein Beispiel dafür hat der Kollege gegeben und leider falsch gelöst:
ò x*sin(x^2) dx :
Die Ableitung der inneren Funktion von g(x)=sin(x^2), nämlich x^2, ist 2x, und die ist ein Vielfaches von f(x)=x; die Substitution klappt aus demselben Grund wie bei 1) : x wird sich kürzen ! und du musst ein (konstantes) Vielfaches von sin(u) (Stammfunktion ist -cos(u) !) integrieren:
u=x^2; du/dx=2x; dx=1/(2x)du :
ò x*sin(x^2) dx = ò x*sin(u)*1/(2x) du = ò (1/2)*sin(u) du = [-(1/2)*cos(u)] = [-(1/2)*cos(x^2)] (mache wieder die Probe durch Ableiten).
Jetzt kannst Du die vorgegebenen Integrationsgrenzen einsetzen (z.B. 0 und Pi, aber da integriert man über Nullstellen der Funktion x*sin(x^2) hinweg, und das ist nicht ratsam !).
Noch ein Beispiel fürs Abi:
ò (4x+2)*e^(x^2+x) dx
Mit u=x^2+x klappt die Substitution, da
u'=du/dx=2x+1 ein Vielfaches von (4x+2) ist(: es gilt hier 2*u'=4x+2)
Nach dx auflösen: dx=1/(2x+1)du ; beachte : 4x+2=2*(2x+1)
ò (4x+2)*e^(x^2+x) dx = ò 2*(2x+1)*e^u *1/(2x+1) du = ò 2*e^u du = [2*e^u] = [2*e^(x^2+x)] (u=x^2+x wurde wieder zurück substituiert)
Probe : die Ableitung von 2*e^(x^2+x) ergibt 2*(2x+1)*e^(x^2+x)=(4x+2)*e^(x^2+x) : stimmt !
Jetzt kannst Du die (eventuell) vorgegebenen Integrationsgrenzen einsetzen.
In diesen Fällen 1) und 2) klappt die Substitution immer, sie klappt aber auch in anderen Fällen; das lernst u am besten durch Ausprobieren.
Fürs Abi schlage ich vor:
wenn die zu integrierende Funktion ein Bruch ist, dann schaue, ob die Ableitung des Nenners ein Vielfaches des Zählers ist: wenn ja, dann substitutiere den Nenner (die Stammfunktion wird dann ein Vielfaches des ln(Nenner) ).
wenn ein Produkt vorliegt und die innere Funktion (also bei der e-Funktion die Hochzahl, beim ln(...) oder sin(...) oder cos(...) der Ausdruck in der Klammer) als Ableitung ein Vielfaches der anderen Funktion ist (oder dieselbe), dann substituiere die innere Funktion.
Wenn beides nicht der Fall ist, probiere die Produktintegration oder substituiere nur einen Teilausdruck der zu integrierenden Funktion.
ciao |
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