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Beitrag |
    
arno nym
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 17:57: | 
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Zu jedem a>0 ist eine Funktion fa gegeben durch
fa(x)=ax-lnx; x>0
Das Schaubild sein Ka.
1.) Asymptoten
Tiefpunkt
Wendepunkt
Gleichung der Ortskurve aller Extremwerte
für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt auf der x-Achse
2.) a=1/e
Flaeche von Ka zwischen x-Achse und Gerade x=u ;0<u<e
für u gegen 0
3.) Anzahl der gemeinsamen Punkte der x-Achse mit Ka |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 06:09: |
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Hi arno
f(x)=ax-ln(x) ; x>0
1.)
Asymptoten:
Da der Definitionsbereich =]0;¥[ ist,
muss man das Verhalten für x--->0 (senkrechte Asymptote) und für x---> ¥ (waagrechte Asymptote) untersuchen:
x--->0: ax--->0 und ln(x)---> -¥
also f(x)---> ¥ : senkrechte Asymptote ist also x=0
x---> ¥: ax---> ¥ (wegen a>0) aber auch ln(x)---> ¥
"¥ - ¥" ist ein unentscheidbarer Fall, deswegen muss man f(x) vorher umformen in ein Produkt (mit einem Trick):
f(x)=ax-ln(x)=x*( a - ln(x)/x )
Wir untersuchen das Verhalten von ln(x)/x , z.B. mit der Regel von De'l Hospital:
x--->¥ : (1/x)/(-1/(x^2)) = (1/x)*(-x^2) = (-x) ---> -¥
Damit gilt ln(x)/x --->- ¥
und deswegen ( a - ln(x)/x )---> ¥
Also f(x)=x*( a - ln(x)/x )--->¥
Es gibt also keine waagrechte Asymptote
Ableitungen:
f '(x)= a-1/x
f ''(x)= 1/x^2 >0 : keine Wendepunkte
Extrema : f '(x)=0
1/x=a
x=1/a (>0)
Da f ''(x)>0 für jedes x, liegt ein relatives Minimum (Tiefpunkt) vor: f(1/a)=1-ln(1/a)=1+ln(a)
T( 1/a | 1+ln(a) )
Für die Ortskurve musst Du den x-Wert vom Tiefpunkt nach a auflösen :
x=1/a Þ a=1/x
Dieses in y=1+ln(a) einsetzen:
y=1+ln(1/x)=1-ln(x)
Tiefpunkt auf der x-Achse heisst y=1-ln(x)=0
ln(x)=1
x=0: da aber x=1/a ist, gilt 1/a=0: der Tiefpunkt liegt nie auf der x-Achse
2.) Muss jemand anderes machen (keine Lust)
3.)
Da T(1/a|1+ln(a)), gibt es keine Tiefpunkte, falls 1+ln(a)>0 (weil das der y-Wert des tiefsten Punktes ist)
ln(a)>-1 |e hoch
a>e^(-1)=1/e : keine Nullstelle(n) für a>1/e
Für a=1/e gilt 1+ln(a)=0 :der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse : genau eine Nullstelle
Für a<1/e gilt 1+ln(a)<1+ln(1/e)<0
Daher gibt es zwei Nullstellen: Der Tiefpunkt liegt im negativen, f(x) ist bis zum Tiefpunkt streng fallend, ab dem Tiefpunkt streng wachsend, und für x--->0 oder x---> ¥ gilt f(x)--->¥
ciao |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 06:26: |
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Ok, ich machs noch:
Der Tiefpunkt ist für a=1/e auch die einzige Nullstelle und f(x)>0 sonst : T(1/a|1+ln(a))=T(e|0)
A(u)=òu e (1/e)*x-ln(x) dx = [(1/e)*(1/2)*x^2-(x*ln(x)-x)] (von u bis e ; dabei wurde benutzt, dass die Stammfunktion von ln(x) die Funktion x*ln(x)-x ist)
A(u)=[1/(2e)*x^2-x*ln(x)+x] von u bis e
A(u)=1/(2e)*e^2-e*1+e - (1/(2e)*u^2-u*ln(u)+u)=(1/2)*e - (1/(2e)*u^2-u*ln(u)+u)=e/2-(1/(2e)*u^2-u*ln(u)+u)
Da der Ausdruck nach dem Minus zeichen: (1/(2e)*u^2-u*ln(u)+u)--->0 mit u--->0, gilt A(u)--->e/2 für u--->0 |
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