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larsman
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 15:33: | 
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Könnt ihr mir bitte helfen,ich brauch Hilfe bei Kurvendiskussion, vorallem Asymptoten und Extrema!
Könnt ihr vielleicht die berechenen, dass ich Ergebnisse vergleichen kann?(IHR MATHE GENIES)
1: Zähler: e^(ax)-e^^(-ax)
Nenner: x
e=Eulerische Zahl
a=Parameter
x=Variable
2:e^(a/x)
Das wäre super, auch für Tips bin ich dankbar!!
larsman |
Brigitte
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 17:40: |
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Hi Larsmann,
Was bedeutet e^^(-ax) ? |
larsman
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 19:48: |
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Sorry, ich meine e^(-ax)
Kannst du mir helfen? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 04:24: |
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Tut mir leid, aber das war echt eine blöde Frage, Brigitte.
Hallo larsman:
f(x) = (e^(ax)-e^(-ax))/x
Ableitung mit Quotientenregel:
f '(x) = [(a*e^(ax)-(-a)*e^(-ax))*x - (e^(ax)-e^(-ax))*1]/x^2 = [ax*e^(ax)+ax*e^(-ax)-e^(ax)+e^(-ax)]/x^2 = [(ax-1)e^(ax)+(ax+1)e^(-ax)]/x^2
f '(x) = 0 ist algebraisch nicht lösbar, also findest Du (oder ich) erstmal keine Extrema.
Wir untersuchen die Symmetrie:
f(-x)=(e^(-ax)-e^(ax)/(-x)=(-(e^(ax)-e^(-ax))/(-x)=(e^(ax)-e^(-ax))/x=f(x)
Deswegen ist f symmetrisch zur y-Achse
Setzt man ausserdem a'=-a statt a in die Funktion ein, dann erhält man
f[a'](x)=f[-a](x)=(e^(-ax)-e^(ax))/x=-f[a](x)
Das heisst, wenn man a>0 annimmt (a=0 ergibt keine sinnvolle Funktion), dann erhält man für a'=-a die Spiegelung an der x-Achse.
Deswegen kann man a>0 annehmen und Eigenschaften der Funktion für a'=-a<0 aus Eigenschaften der Funktion für a>0 ablesen (z.B. wäre ein Hochpunkt der einen ein Tiefpunkt der anderen usw.).
Wir können also a>0 und x>0 voraussetzen und Ergebnisse für andere Fälle daraus schliessen!
Nullstellen:
Für a>0 und x>0 gilt e^(ax)>1 und e^(-ax)<1, deswegen hat f keine Nullstellen ! (auch für x<0 oder a<0).
Extrema:
Für x>1/a (und x>0, a>0) gilt f '(x)>0, da (ax-1)>0 und (ax+1)>0 und die e-Funktion stets positiv ist, also ist f sogar streng wachsend für x>0 (wenn a>0 ist; für a<0 streng fallend !)
Für x=1/a (und x>0, a>0) gilt f '(x)=(0+2*e^(-1))/(1/a^2)>0
Für 0<x<1/a gilt:
f '(x)=0 führt auf die Gleichung
e^(-ax)*[(ax-1)*e^(2ax) + ax + 1]=0
da die e-Funktion nie Null wird, muss gelten
e^(2ax) = - (ax+1)/(ax-1): (*)
die linke Seite ist positiv (da die e-Funktion stets positiv ist)
Wir zeigen, dass die rechte Seite für a>0 und 0<x<1/a negativ ist:
ax+1 ist stets positiv
für ax-1 gilt -1 < ax-1 < 0, ax-1 ist also negativ.
Damit ist die rechte Seite stets negativ.
(*) wird also nie erfüllt, das heisst, dass f '(x) für a>0 und x>0 nie Null wird, wegen Stetigkeit von f '(x) sogar immer positiv ist:
Damit ist gezeigt, dass f[a](x) für a>0 und x>0 streng wächst, für a>0 und x<0 streng fällt (Symmetrie zur y-Achse).
Für a<0 und x>0 ist f streng fallend und für a<0 und x<0 ist f sreng wachsend (das ergibt sich aus der Symmetrie zur x-Achse von f[a](x) und f[-a](x)).
Jetzt kommen die Asymptoten:
Waagrechte Asymptoten:
für x--->oo (unendlich) und a>0 gilt mit der Regel von De'l Hospital f[a](x)--->oo
für x--->-oo (unendlich) und a>0 und Symmetrie f[a](x)--->oo
für x--->oo (unendlich) und a<0 gilt mit der Regel von De'l Hospital f[a](x)--->-oo
für x--->-oo (unendlich) und a>0 und Symmetrie f[a](x)--->-oo
Also gibt es keine waagrechten Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten:
Die Zahl 0 ist der einzige Zahlenrand der Funktion, also kann es nur hier senkrechte Asymptoten geben, bzw hier interessiert das Verhalten von f[a](x) für x--->0 (x>0 und a>0 reicht wieder)
f(x)=e^(-ax)*[e^(2ax)-1]/x
Da e^(-ax)--->1 gilt, reicht es das Verhalten von [e^(2ax)-1]/x zu untersuchen:
Nach De'l Hospital leiten wir Zähler und Nenner getrennt ab und erhalten
2a*e^(2ax)/1--->2a
Das heisst, für x--->0 gilt f[a](x)--->2a (auch für a<0 !)
Wenn man also definiert :
g(x)=f(x) für x ¹0
g(x)=2a für x=0
Dann erhält man die stetig differenzierbare Fortsetzung von f , die für a>0 bei T(0|2a) einen Tiefpunkt bzw für a<0 bei H(0|2a) einen Hochpunkt besitzt.
Die Wendepunkt musst Du jetzt noch selber überlegen (ein Tip: es gibt keine Wendepunkte, da f '[a](x) für x>0 und a>0 streng wächst)
Ganz schöner Brocken, diese Funktion, larsman, oder ?
ciao |
larsman
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 16:51: |
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Super, vielen Dank!!
Ihr wart mir eine große Hilfe!!!!!! |
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