| Autor |
Beitrag |
    
Sebastian
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 13:32: | 
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Hallo freunde!
Ich habe zwei sehr schwierige Aufgaben, bei denen ich an meinen Horizont stoße und brauche daher dringend hilfe.
1) f(x)= x/3*Wurzel aus (9-x)
Der Graph und die x-Achse umschließen eine Fläche, die um die x-Achse rotiert. Bestimme das Volumen.
Desweiteren soll dieser Rotationskörpermit einem Durchmesser von d=9 hergestellt werden. Dieses soll gezeigt werden.
2) f(x)=x^3/(3(x-1)^2)
Hierbei soll gezeigt werden, dass ein a existiert, größer als 4 und kleiner als 5, mit der Eigenschaft, dass die Tangente an dem graph im Punkt (a/f(a))mit agrößer 1 die y-Achse im Punkt (0/1,5) schneidet. |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 14:09: |
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2) geg:
f(x)=1/3×x^3/(x-1)²
Þ f'(x)=1/3×x²×(x-3)/(x-1)³
a Î Â Ù a>1
Die Tangente an Gf im Punkt a hat die Gleichung:
yT(a)=f'(a)×(a-x0)+f(x0)
Û yT(a)=1/3×a²×(a-3)/(a-1)³×(a-0)+1,5
Û yT(a)=1/3×a³×(a-3)/(a-1)³+3/2
Hab momentan leider keine Zeit... heut abend vielleicht mehr...
mfG, Xell |
J
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 14:28: |
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Zu 1)
Nullstellen von f sind offensichtlich 0 und 9
Volumen des Rotationskörpers:
V= pi*Integral von 0 bis 9 über (x/3*Ö(9-x))²dx
= pi*Integral von 0 bis 9 über (x²/9 *(9-x))dx
=pi*Integral von 0 bis 9 über (x²-x³/9)dx
= pi[x³/3-x^4/36]von 0 bis 9
= pi *243/4 = 190,85 (VE)
Was du mit dem zweiten Teil der Frage meinst, hab ich nicht verstanden!
Zu 2.
Es gilt: f'(x)=(x²*(x-3))/(3*(x-1)³)
für die Tangente t:
t(x)=m*x+1,5, wobei m= f'(a) ist.
Außerdem muss der Punkt A(a/f(a)) auf der Tangente liegen:
f(a)= (f'(a))*a+1,5
x³/(3(a-1)²) = a³*(a-3)/(3(a-1)²)+1,5
Diese Gleichung nach a aufzulösen, ist m.E. mit elementaren Mitteln nicht möglich.
Das Newtonverfahren gibt die Lösung 4,22195
Vielleicht hab ich mich auch verrechnet! Rechne also bitte nach!
Gruß J |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 18:32: |
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Nochmal zu 2):
Es gilt
yT=f'(x0)×(x-x0)+f(x0)
Û yT=f'(a)×(x-a)+f(a)
Û yT=1/3×a²×(a-3)/(a-1)³×(x-a)+1/3×(a-3)/(a-1)²
Außerdem gilt: P(0/3/2) Î Graph(yT)
Þ yT(0)=3/2
Û 1/3×a²×(a-3)/(a-1)³×(0-a)+1/3×(a-3)/(a-1)²=3/2
Û -1/3×a³×(a-3)/(a-1)³+1/3×(a-3)×(a-1)/(a-1)³-3/2×(a-1)³/(a-1)³=0
Û (1/3)×(a-3)×(a-1)-(3/2)×(a-1)³-(1/3)×a³×(a-3)/(a-1)³=0
Û a»2,188
(numerisch)
Mhh... sollten Fehler enthalten sein, so meldet euch...
mfG, Xell |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 20:56: |
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irgendwas ist faul, weil a nicht zwischen 4 und 5 liegt. Wer sagt mir, woran's liegt?
mfG, Xell |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 00:19: |
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Der Fehler liegt ziemlich am Anfang :
yT=f'(a)(x-a)+f(a)
<=> yT=1/3a²(a-3)/(a-1)³(x-a)+1/3(a-3)/(a-1)²
Denn es ist ja f(a)=a3/(3(a-1)2)
meine Herleitung sieht so aus :
ta(0) = f(a)-af'(a) = 3/2
=> a3/(3(a-1)2) - a(a2(a-3)/(3(a-1)3) = 3/2
=> a3(a-1)-a3(a-3) = (9/2)(a-1)3
=> 4a3-9(a-1)3 = 0
Für a=4 ist die linke Seite 44-9*33=256-247=9
Für a=5 ist die linke Seite 4*53-9*43=500-576<0
Da f stetig ist muß es nach dem Zwischenwertsatz zwischen a=4 und a=5 eine Nullstelle geben. |
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