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Beitrag |
    
martin (Martin0019)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 10:36: | 
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Hallo an alle!
Ich habe Schwierigkeiten mit folgenden Aufgaben:
1.)Die Funktion f sei auf |R definiert durch:
(x²-x/x²-3x+2 falls x nicht e|N
f(x)= (4x-6/x+1 falls x e |N
Bestimme alle Stetigkeitsstellen von f.
2.) Bestimme a,b e |R so, daß die Funktion
(x für x <=a
f(x)= (2+bx² für x>a
stetig differenzierbar in |R ist.
Danke für jede Erklärung oder Hilfe! |
Andra
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 01:56: |
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Hallo Martin,
ich würd Dir sicher gern helfen, aber ich kann die Funktionen nicht richtig verstehen. Du machst Klammern auf, aber schließt sie nicht wieder.
(x²-x/x²-3x+2
Kannst Du das nochmal klarer mailen?
Ciao, Andra |
martin (Martin0019)
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 19:55: |
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Oh, sorry! Also die Funktion besteht jeweils aus den beiden Teilfunktionen! Einfach hinten die Klammern nur schließen! |
MöchteHelfer
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 20:53: |
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Hallo martin,
Schreib doch die Funktionen mal richtig mit Klammern auf.
Wo ist denn "hinten schließen" ? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 08:45: |
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Definition von f:
f(x)=(x^2-x)/(x^2-3x+2)=x*(x-1)/[(x-1)*(x-2)]=x/(x-2) für x in R , aber nicht in N (d.h. reelle Zahl, aber keine natürliche)
und
f(x)=(4x-6)/(x+1) für x in N\{-1} (also natürliche Zahl, ausser der -1)
Lösung:
Für x in R, aber nicht in N, ist f(x) stetig, da x/(x-2) stetig auf R und für jedes x in R ohne N auf einem offenem Gebiet, das x enthält, definiert ist.
Interessant sind also nur noch die Stellen z in N.
Für z=-1 ist f(x) gar nicht definiert, also muss hier keine Stetigkeit untersucht werden ( aber f ist dort stetig fortsetzbar mit Hilfe der Definition f(-1)=-1/(-1-2)=1/3 )
Für z in N\{-1} ist der Funktionswert f(z)=(4z-6)/(z+1) , deshalb muss man zeigen, das der Grenzwert von f(x) für x--->z gleich f(z)=(4z-6)/(z+1) ist.
Da x/(x-2) aber stetig auf ganz R\{2} ist, betrachten wir erstmal alle N\{2;-1}:
Da gilt für den Grenzwert von für x--->z : f(x)--->z/(z-2)
Der Grenzwert muss gleich dem Funktionswert sein, d.h.
es muss gelten
(4z-6)/(z+1)=z/(z-2) |*(z+1)*(z-2)
(4z-6)*(z-2)=z*(z+1)
4z^2-8z-6z+12=z^2+z |-z^2-z
3z^2-15z+12=0 |:3
z^2-5z+4=0
z1/2 = (5±wurzel(25-16))/2 = (5±3)/2
also
z1=4
z2=1
Für z--->2 existiert der Grenzwert z/(z-2) nicht; für x=-1 ist f nicht definiert.
Also ist das Ergebnis:
f(x) ist stetig für alle x in R\[N\{1;4}], d.h. Stetigkeit für alle reellen, nicht natürlichen Zahlen, ausser x=1 und x=4: da ist f trotzdem stetig} |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 08:55: |
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zu 2):
zuerst Stetigkeit bei x=a:
es muss bei x=a gelten: f(a)=a = lim 2+bx^2= 2+ba^2
also a=2+ba^2 (1)
Ableiten ergibt
f '(x)=1 für x<a und
f '(x)=2bx für x>a
Da wegen der Forderung der Differenzierbarkeit die Grenzwerte für x--->a identich sein müssen, muss gelten
1=2ba
b=1/(2a) (2)
Du setzt b=1/(2a) in (1) ein und erhältst die Bedingung
a=2+1/(2a)*a^2 ... kürzen mit a
a=2+(1/2)*a |-(1/2)*a
(1/2)*a=2 |*2
a=4
a=4 in (2) eingesetzt ergibt b=1/8
ciao |
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