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Beitrag |
    
Kathinka
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 10:34: | 
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Hi!
Ich hab hier eine DGL
y'=ky+b
und die Lösung
y=C*e^(kx)
(soll heißen:Konstante mal Eulersche Zahl hoch k mal x)
Ich soll jetzt Achsenabschnittspunkte, Extrempunkte und Wendepunkte suchen. Bei den Kurvendiskussionen in der 11.Klasse konnte ich das perfekt.Aber hier komme ich irgendwie durcheinander. Muss ich mit der Lösung weiterrechnen, oder mit der DGL? Und was muss ich machen?
Brauche die Antwort noch heute!
Danke |
clemens
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 13:01: |
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Hi, Kathinka!
Ist dir eigentlich aufgefallen, daß deine "Lösung" die DGL garnicht löst? Du brauchst nur differenzieren, dann siehst du, daß dir das b fehlt. Die Lösung ist nur Lösung der homogenen DGL.
Keine Ahnung, wie dein Lehrer das Bsp haben will, aber wenn du nur die DGL benutzt und annehmen darfst daß k nicht 0 wird (dann wär ja die DGL auch zu einfach oder?), bietet sich folgendes an:
Kritische Punkte y' = 0.
aber y' = ky + b, also verschwindet die erste Ableitung genau, wenn y = -b/k.
Wendepunkte y'' = 0.
y'' = (y')' = (ky+b)' = k y'
also ist y'' = 0 genau dann wenn y' = 0. Wendepunkte und kritische Punkte fallen also zusammen.
y' > 0 falls y > -b/k und umgekehrt y' < = falls y < -b/k.
Jetzt weißt du immerhin schon sehr viel über das Verhalten der Lösung.
Um exakte Werte zu bekommen, mußt du die DGL aber schon lösen. Das geht z.B. gut mit der Methode der Variation der Konstanten (kennst du hoffentlich):
wir machen den Ansatz y(x) = C(x)*e^(kx)
dann ist y'(x) = C'(x)e^(kx) + C(x)ke^(kx) soll aber auch sein ky + b. Du erhälst C'(x)e^(kx) = b also C'(x) = b e^(-kx). Integrieren führt auf die Gleichung C(x) = - b/k e^(-kx) + C1 (eine Konstante).
Durch einsetzen in den Ansatz bekommst du die Lösung der (inhomegenen) DGL:
y(x) = -b/k + C1 e^(kx)
Durch Differenzieren kannst du dich davon überzeugen, daß es wirklich eine Lösung ist.
Nun könntest du den Rest der Kurvendiskussion damit durchführen.
Hoffe, daß du damit was anfangen kannst.
Clemens |
Kathinka
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 17:03: |
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Danke für deine Antwort, Clemens |
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