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dot
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 19:43: | 
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Also folgendes Integral ist zu lösen:
ò dx/(x²+12x+40)
Durch Partialbruchzerlegung komme ich zu
folgender Stammfunktion:
(1/4i)ln((x+6-2i)/(x+6+2i)+C
Diese ist richtig, aber ich habe erfahren, dass
die Stammfunktion vereinfacht heißt:
1/2 arctan ((x+6)/2)+C.
Meine Frage ist nun, warum gilt
(1/2i)ln((x+6-2i)/(x+6+2i))=arctan ((x+6)/2)? |
conny (Conny)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 22:47: |
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Hi
Kannst du dich noch erinnern, dass das Integral von 1/(1+x²) arctan(x) ist?
Um den 1/2arctan((x+6)/2) zu erhalten wurde einfach anders integriert, dort wurde die Standardform 1/(1+x²) verwendet und zwar so:
x²+12x+40= (x+6)²+4=1/4(1+(x+6)²/4)
Das Integral sieht also folgendermaßen aus:
1/4*1/(1+((x+6)/2)²), was 1/1+x² relativ nahe kommt, außer dass x hier (x+6)/2 ist.
Mit einer Substitution kann das Integral auf diese Form gebracht werden:
u=(x+6)/2
du/dx=1/2
dx=2du
---> 1/4*INT(1/(1+u²)*2du)=1/2arctan(u)
=1/2 arctan((x+6)/2)+C
Über die tieferen mathematischen Zusammenhänge zwischen den beiden Integralen bin ich allerdings auch nicht aufgeklärt, aber ich glaube nicht, dass jemand einfach so auf die Idee käme dein Integral zu einem arctan vereinfachen zu wollen. |
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