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Ebene-Zylinder

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Ebene-Zylinder « Zurück Vor »

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pepi
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Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 09:31:   Beitrag drucken

hilfe bitte! verzweifle schon beinahe, denn ich komm mit folgender aufgabe einfach nicht zurecht:
die ebene 3x+2y+z=10 wird vom zylinder x*2+y*2=4, z=bel. durchstossen. Gesucht ist die Fläche jenes Ebenenteils, der innerhalb des ´zylinders liegt.
danke im vorhinein
wünsche euch allen einen schönen tag
lg pepi
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 13:35:   Beitrag drucken

Hi Pepi,

Die Ebene E: 3 x + 2y + z = 10 schneidet die Zylinderfläche
x^2 + y^2 = 4 in einer Ellipse .
Die Achse des Zylinders, in unserem Fall die z-Achse,
schneidet die Ebene E im Mittelpunkt M der Ellipse.
Wir erhalten den Flächeninhalt J der Ellipse als Produkt
J = Pi * a * b , wobei a die grosse und b die kleine Halbachse
der Ellipse sei.

(1)
Die kleine Halbachse b stimmt mit dem Radius des Zylinders überein
Es geht nun noch darum, die grosse Halbachse a zu ermitteln!

(2)
Bestimmung des Mittelpunktes M als Schnittpunkt der z-Achse mit E
Indem wir x = y = 0 in die Gleichung für E einsetzen, erhalten wir :
M(0/0/10)

(3)
Ermittlung der Schnittgeraden e1 von E mit der (x,y) -Ebene
Setze in der Ebenengleichung z = 0 ein
Wir bekommen als Gleichung der sogenannten ersten Spur e1
von E die Gerade mit der Gleichung
3x + 2y = 10 in der (x,y)-Ebene

(4)
Die zu e1 in der (x,y)-Ebene senkrechte Gerade n1 durch den
Nullpunkt O des Koordinatensystems hat die Gleichung
y = 2/3 * x , wie man leicht herausfindet.
e1 und n1 schneiden sich im Punkt F1 der (x,y)- Ebene
Die Koordinaten von F1 sind:
x F1 = 30/13 , y F1= 20/13 , z F1 = 0.

(5)
Bedeutung von n1 und F1
Die Gerade n1 spannt zusammen mit der z-Achse die Ebene N auf ;
n1 ist deren erste Spurgerade.
N steht auf der Ebene E senkrecht und schneidet aus dieser eine
erste Fallgerade f1 heraus, F1 ist der erste Spurpunkt von f1.
Da N sowohl bezüglich E als auch bezüglich des Zylinders eine Symmetrieebene darstellt, liegt - und das ist der Witz -
die grosse Achse der Ellipse auf dieser Fallgeraden f1.


(6)
Die Fallgerade f1, von welcher wir zwei Punkte M und F1 kennen,
durchstösst den Zylinder in den Punkten A und B,
M ist der Mittelpunkt dieser Strecke,
sodass sich die grosse Halbachse a als Länge der Strecke MB ergibt.

(7)
Durchführung:
Richtungsvektor F1M = {30/13; 20/13; -10} ,
Gleichung der Geraden F1M = f1
x= 30/13 * t = 3*s
y = 20/13 * t = 2*s
z = 10 - 10 t = 10 - 13*s
Beziehung zischen den Parametern s und t : t = 13/10 * s.
Schnitt von f1 mit der Zylinderfläche durch Einsetzen
von x und y in die Gleichung des Zylinders
( 3 * s ) ^2 + ( 2 * s ) ^ 2 = 4 , daraus s = 2 / wurzel (13)
(wir wählen mit Bedacht die positive Lösung und erhalten
dadurch einen der beiden Punkte, etwa B.
Koordinaten von B:
xB = 6/wurzel(13), yB = 4/wurzel(13) , zB = 10 -2 * wurzel(13).

(8)
Halbachse a = MB, also a^2 = (MB)^2 =
a^2 =36 / 13 + 16 / 13 +52 = 56 , somit
a = 2* wurzel(14)
Fläche J der Ellipse

J = Pi * 2 * wurzel(14) * 2 = 4* Pi * wurzel(14) ~ 47,02
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 17:08:   Beitrag drucken

Hi Pepi,

Die grosse Halbachse a kannst Du auch mit Hilfe
des Neigungswinkels phi der Ebene E bezüglich der
(x,y) - Ebene berechnen.
Wir erhalten phi als Winkel der Normalenvektoren
u und v dieser Ebenen.
Ebene E, Normalenvektor u = {3;2;1}
(x.y)-Ebene, Normalenvektor v = {0;0;1}
cos(phi) = u.v / [abs(u)*abs (v) = [3*0+2*0+1*1] / [wurzel(14)*1]
= 1/ [ wurzel (14) ]

Die grosse Halbachse a ergibt sich nun trigonometrisch:
a = r / cos(phi) , wie Du aus einer geeigneten Skizze
(Achsialschnitt des Zylinders) ersehen kannst.
Mit r = 2 und dem obigen Wert für cos (phi) kommt
das alte Resultat.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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