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pepi
| Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 09:31: |
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hilfe bitte! verzweifle schon beinahe, denn ich komm mit folgender aufgabe einfach nicht zurecht: die ebene 3x+2y+z=10 wird vom zylinder x*2+y*2=4, z=bel. durchstossen. Gesucht ist die Fläche jenes Ebenenteils, der innerhalb des ´zylinders liegt. danke im vorhinein wünsche euch allen einen schönen tag lg pepi |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 13:35: |
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Hi Pepi, Die Ebene E: 3 x + 2y + z = 10 schneidet die Zylinderfläche x^2 + y^2 = 4 in einer Ellipse . Die Achse des Zylinders, in unserem Fall die z-Achse, schneidet die Ebene E im Mittelpunkt M der Ellipse. Wir erhalten den Flächeninhalt J der Ellipse als Produkt J = Pi * a * b , wobei a die grosse und b die kleine Halbachse der Ellipse sei. (1) Die kleine Halbachse b stimmt mit dem Radius des Zylinders überein Es geht nun noch darum, die grosse Halbachse a zu ermitteln! (2) Bestimmung des Mittelpunktes M als Schnittpunkt der z-Achse mit E Indem wir x = y = 0 in die Gleichung für E einsetzen, erhalten wir : M(0/0/10) (3) Ermittlung der Schnittgeraden e1 von E mit der (x,y) -Ebene Setze in der Ebenengleichung z = 0 ein Wir bekommen als Gleichung der sogenannten ersten Spur e1 von E die Gerade mit der Gleichung 3x + 2y = 10 in der (x,y)-Ebene (4) Die zu e1 in der (x,y)-Ebene senkrechte Gerade n1 durch den Nullpunkt O des Koordinatensystems hat die Gleichung y = 2/3 * x , wie man leicht herausfindet. e1 und n1 schneiden sich im Punkt F1 der (x,y)- Ebene Die Koordinaten von F1 sind: x F1 = 30/13 , y F1= 20/13 , z F1 = 0. (5) Bedeutung von n1 und F1 Die Gerade n1 spannt zusammen mit der z-Achse die Ebene N auf ; n1 ist deren erste Spurgerade. N steht auf der Ebene E senkrecht und schneidet aus dieser eine erste Fallgerade f1 heraus, F1 ist der erste Spurpunkt von f1. Da N sowohl bezüglich E als auch bezüglich des Zylinders eine Symmetrieebene darstellt, liegt - und das ist der Witz - die grosse Achse der Ellipse auf dieser Fallgeraden f1. (6) Die Fallgerade f1, von welcher wir zwei Punkte M und F1 kennen, durchstösst den Zylinder in den Punkten A und B, M ist der Mittelpunkt dieser Strecke, sodass sich die grosse Halbachse a als Länge der Strecke MB ergibt. (7) Durchführung: Richtungsvektor F1M = {30/13; 20/13; -10} , Gleichung der Geraden F1M = f1 x= 30/13 * t = 3*s y = 20/13 * t = 2*s z = 10 - 10 t = 10 - 13*s Beziehung zischen den Parametern s und t : t = 13/10 * s. Schnitt von f1 mit der Zylinderfläche durch Einsetzen von x und y in die Gleichung des Zylinders ( 3 * s ) ^2 + ( 2 * s ) ^ 2 = 4 , daraus s = 2 / wurzel (13) (wir wählen mit Bedacht die positive Lösung und erhalten dadurch einen der beiden Punkte, etwa B. Koordinaten von B: xB = 6/wurzel(13), yB = 4/wurzel(13) , zB = 10 -2 * wurzel(13). (8) Halbachse a = MB, also a^2 = (MB)^2 = a^2 =36 / 13 + 16 / 13 +52 = 56 , somit a = 2* wurzel(14) Fläche J der Ellipse J = Pi * 2 * wurzel(14) * 2 = 4* Pi * wurzel(14) ~ 47,02 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 17:08: |
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Hi Pepi, Die grosse Halbachse a kannst Du auch mit Hilfe des Neigungswinkels phi der Ebene E bezüglich der (x,y) - Ebene berechnen. Wir erhalten phi als Winkel der Normalenvektoren u und v dieser Ebenen. Ebene E, Normalenvektor u = {3;2;1} (x.y)-Ebene, Normalenvektor v = {0;0;1} cos(phi) = u.v / [abs(u)*abs (v) = [3*0+2*0+1*1] / [wurzel(14)*1] = 1/ [ wurzel (14) ] Die grosse Halbachse a ergibt sich nun trigonometrisch: a = r / cos(phi) , wie Du aus einer geeigneten Skizze (Achsialschnitt des Zylinders) ersehen kannst. Mit r = 2 und dem obigen Wert für cos (phi) kommt das alte Resultat. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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