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Beitrag |
    
Julia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 17:10: | 
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Hallo da draussen,
wer kann mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen:
Ist die Folge xn = (1/n+1) + (1/n+2) + ... + (1/2n) konvergent? Zeigen Sie Beschränktheit und Monotonie. |
Jochen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 18:26: |
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Kann es sein, dass du (1/(n+1)) usw. meinst?
sonst ist die Folge nämlich nicht konvergent!
Monotonie:
x(n+1)-xn = [(1/(n+2) + (1/(n+3)) + ... + (1/(2(n+1))]-[(1/n+1) + (1/(n+2)) + ... + (1/2n) ] = 1/(2n+1)+1/(2n+2) -1/(n+1)
= 1/((2n+1)*(2n+2)) >0
Beschränktheit:
Offensichtlich sind alle xn>0; also ist 0 untere Schranke.
für jedes xn gilt, dass es der Wert einer Summe aus n Summanden ist, von denen der 1 Summand der größte ist. Also gilt xn < n*(1/(n+1)) = n/(n+1) <1.
Nach dem Satz von Weierstraß sind monotone, beschränkte Folgen konvergent. q.e.d.
mfg Jochen |
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