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Alice
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 16:42: | 
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Hi,
bitte helft mir bei folgender Aufgabe:
(a) Man berechne den Grenzwert lim n gegen unendl. von (1/n^2 + 2/n^2, + ... + (n-1)/n^2) unter Verwendung der Summenformel (Summe aller k von k=1 bis m).
(b) Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz: Summe aller (sin n x / n^2) von n=1 bis unendl.
Vielen Dank jetzt schon... |
Jochen
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 09:05: |
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zu a)
es sei an = (1/n^2 + 2/n^2, + ... + (n-1)/n^2)
Da alle Nenner gleich sind, kannst du schreiben:
an = (1+2+..+(n-1))/n²
Ssummenformel: 1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n-1)/2
also hier: 1 + 2 + 3+ ... + (n-1) = (n-1)*(n-2)/2 = (n²-3*n+2)/2
Demnach ist an = (n²-3*n+2)/(2*n²)
Damit kannst du lim an mit den üblichen Methoden (Grenzwertsätze) bestimmen und erhältst den Wert 1/2
zu b)
ich lese: (sin (n*x))/n²
für alle n gilt:
-1 <=sin nx <= +1, daher
-1/n² <= (sin (nx))/n² <= 1/n²
Summe(1/n²) von n= 1 bis unendlich= pi²/6 (Formelsammlung)
Also muss auch deine Reihe einen Wert zwischen -pi²/6 und pi²/6 haben, wenn sie denn überhaupt konvergiert.
Alles weitere hängt von x ab:
beispielsweise ist für x= 0 offensichtlich der Reihenwert 0, die Reihe konvergiert.
Für allgemeine x fällt mir nichts dazu ein, da die Folgenglieder auch negativ sein können.
Wenn das allgemeine Glied anders geklammert ist, nämlich (sin(n*x))/n)², kommst du weiter, da du Sätze über Reihen mit positiven Gliedern anwenden kannst.
Schreib doch noch mal, was genau gemeint ist!
mfg Jochen |
Alice
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 13:50: |
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Hallo Jochen,
danke für deine Ausführungen.
zu b) deine erste Vermutung stimmt schon, die Angabe lautet ganz genau: Summe aller (sin nx) / n^2, allerdings ohne Klammerung, in Bruchdarstellung und natürlich mit Summenzeichen...
Danke nochmal! |
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