| Autor |
Beitrag |
    
atp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 14:33: | 
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WICHTIG! Habe Probleme mit folgenden Aufgaben!
Vielen Dank im Vorraus!
1. Gegeben ist die Funktion f(x)= -x^4 – x^3 + 3x^2 + x -2;
- Untersuche die Funktion auf
- Symmetrieeigenschaften
- Schnittpunkte mit der y- Achsen
- Nullstellen
- Extrempunkte
- Wendepunkte
2. Funktion f(x)= 2x^3 – 12x^2 – 30x +120
- Berechne die Fläche, zwischen Graphen der Funktion f und der Verbindungsstrecke des Hochpunktes mit dem Wendepunkt.
3. Der Graph einer punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion 5. Grades hat den Sattelpunkt S(1;8).
Wie lautet die Funktionsgleichung?
4. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4 Grades hat im Ursprung einen Sattelpunkt und einen Extrempunkt bei x= 3/2. Ferner verläuft er durch den Punkt (1;-1).
5. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung.
6. Gegeben ist die Funktion f(x)= 8x – x^2
-Berechnen sie die Fläche zwischen Graphen der Funktion f und der x- ACHSE:
-Der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x- Achse ist ein Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben. Berechne die Abmessungen des Rechtecks! |
Jochen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 16:49: |
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Alles ist ein bisschen viel, aber ich fang mal an:
Zu 1) keine Symmetrie
Nullstellen sind: -2, -1 und 1 (davon 1 doppelte Nullstelle)
Extremstellen sind , (wurzel(33) - 7)/8 und (-wurzel(33)-7)/8
Wendestellen sind -1 und 1/2
Die y-Koordinaten der punkte rechne bitte selbst aus!
Zu 2:
Wendpunkt: W(2/20)
Hochpunkt: H(-1/136)
Gerade dazwischen:g(x)= (-116/3)*x +(292/3)
Fläche: 105/2
Für die anderen Aufgaben hab ich nicht genug Zeit!
Wär auch besser wenn du dir ein überschaubares problem rausgreifst und dir das ausführlich erklären lässt. irgendwann willst du solche aufgaben ja mal alleine lösen können, oder?
mfg Jochen |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 19:44: |
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zu 3)
Eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion 5. Grades hat die allgemeine Gleichung
f(x)=ax5+bx³+cx
Die Ableitungen sind dann
f'(x)=5ax4+3bx²+c
f"(x)=20ax³+6b
S(1/8) ist Punkt: f(1)=a+b+c=8
Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also m=0
f'(1)=5a+3b+c=0
f"(1)=20a+6b=0
Jetzt noch das Gleichungssystem lösen
(I) a+b+c=8
(II)5a+3b+c=0
(III) 20a+6b=0
(II)-(I): 4a+2b=-8 => 2b=-8-4a => b=-4-2a
einsetzen in (III): 20a+6(-4-2a)=0
<=> 20a-24-12a=0 <=> 8a-24=0 <=> 8a=24 <=> a=3
(III) 20*3+6b=0 <=> 6b=-60 <=> b=-10
(I) 3-10+c=8 <=> -7+c=8 <=> c=15
=> f(x)=3x5-10x³+15x
mfg Lerny |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 23:22: |
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4./5.
f(x)=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Wegen Sattelpunkt im Ursprung (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) gilt:
f(0)=0 Þ e=0
f '(0)=0 Þ d=0
f ''(0)=0 Þ c=0
Damit gilt
f(x)=ax^4 + bx^3
f '(x)=4ax^3 + 3bx^2
Wegen Extrempunkt bei x=3/2 gilt
f '(3/2)=0 Þ 4a*27/8+3b*9/4=0
27/2*a +27/4*b=0 |*4/27
2*a+b=0 (1)
P(1;-1) bedeutet f(1)=-1
also a+b=-1 (2)
(1)-(2) ergibt a=1
Damit in (2) eingesetzt b=-2
Also f(x)=x^4 - 2*x^3 |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 23:42: |
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f(x)=8*x-x^2=x*(8-x) :Nullstellen bei x=0 und bei x=8.
Gegeben ist damit eine nach unten geöffnete (Normal-)Parabel.
Durch Ableiten oder quadratische Ergänzung erhält man den Scheitel S(4|16).
Jede Parabel (2.Grades) ist achsensymmetrisches zur Geraden x=xs durch den Scheitel, hier x=4.
Man wählt deswegen die Grundseite a des Rechtecks symmetrisch zu x=4:
Der rechte Punkt auf der x-Achse sei x=4+u, der linke x=4-u
Damit ist die Grundseite a=2u lang (nämlich 4+u-(4-u)=4+u-4+u=2u)
Für die andere Seitenlänge erhält man b=f(4+u) (oder b=f(4-u))
Damit ist b=(4+u)*(8-(4+u))=(4+u)*(4-u)=4-u^2
Als Fläche erhält man
A(u)=a*b=2*u*(4-u^2)
A(u)=8*u-2*u^3 mit 0<=u<=4, damit das Rechteck richtig definiert ist (die Nullstellen sind ja bei 0 und bei 8)
2*Ableiten:
A'(u)=8-6*u^2
A''(u)=-12*u
A'(u)=0 liefet
8-6*u^2=0 |+6*u^2 |:6
u^2=4/3 |wurzel
u=±2/wurzel(3)
Da u>=0 sein soll, gilt u= 2*wurzel(3)/3
Da A''(u) dann negativ ist, liegt ein relatives Maximum vor.
Das ist sogar ein absolutes Maximum, da an den Rändern A(0)=0 gilt und A(4)=0 |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 23:47: |
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Die Abmessungen des Rechtecks sind dann a=2*u=4*wurzel(3)/3 und
b=4-u^2=4-4/3=8/3 |
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