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holger
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 14:07: | 
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Hallo,
ich bin bei der Diskussion der Funktion f_k(x)=x*e^(k*x) auf einen merkwürdigen Sachverhalt gestoßen. f_k(x) lässt sich auch schreiben als (d + k*x)*k^(d-1)*e^(k*x) mit d = 0. Für d = 1 erhält man dann die 1. Ableitung von f_k, für d = 2 die 2. usw. Kann man das irgenwie beweisen? Und klappt das auch bei Integralen? Etwa d = -1? Ich bin da wirklich sehr neugierig.
Vielen Dank.
-holger |
holger
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 16:06: |
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So jetzt habe ich es glaube ich selbst geschafft:
eifach f_k,d(x) ableiten ergiebt f_k,(d+1)(x), und somit ist die Behauptung bestätigt. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 17:12: |
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Ja, das stimmt in beiden Richtungen. Beweisen kann man das mit Induktion über d (für die Ableitungen) und über -d für die Integrale.
Behauptung: fdk(x) = (d+kx)*kd-1*ekx
Induktionsanfang: d=1, ist richtig.
Induktionsschritt: d->d+1:
fd+1k(x) = [fdk]'(x)
= [(d+kx)*kd-1*ekx]'
= (d+1+kx)*kd*ekx
Fertig.
Und für Integrale:
Definiere zunächst eine Schreibweise:
Idk(x) sei das Ergebnis der d-fachen Integration von fk(x).
Behauptung: Idk(x) = (-d+kx)*k-d-1*ekx
Induktionsanfang: d=1, stimmt.
Induktionsschritt:
I-(d+1)k(x)
= ò Idk(x) dx
= ò (-d+kx)*k-d-1*ekx dx
= -d*k-d-1 ò ekx dx + k-d ò x*ekx dx
= -d*k-d-2 * ekx + k-d * [(-1+kx)*k-2*ekx]
= k-d-2 * (-d -1 +kx)* ekx
= k-(d+1)-1 * (-(d+1) +kx)* ekx
Auch das kommt hin.
Ok?
Gruß
Matroid |
holger
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 23:01: |
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Danke Sehr.
Wie ist das eigentlich? Wie müssen Funktionen aussehen, damit man solch Darstellungen existieren? Bei ganzrationalen Funktionen geht das doch wahrscheinlich auch. Bei sin, cos ist es ähnlich. Wie ist das z.B. bei gebrochen rationalen? |
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