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Sarah (Tweety2607)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 21:14: | 
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Habe ein Problem! Muss am Montag diese Aufgaben abgeben und ich habe keine idee wie ich sie rechnen soll!
Kann mir jemand helfen? Hier die Aufgaben:
Für jedes t ungleich 0 ist f von t eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Ihr Schaubild K von t ist punktsymmetrisch zum Ursprung O, hat dort die Tangente y=tx und schneidet die x-Achse außerdem im Punkt Nt(3t/0).
a) Bestimme die Gleichung von f von t.
(Ergebnis: ft (x) = - (1/9t)x³ + tx)
Untersuche Kt auf Hoch-,Tief- und Wendepunkte. Zeichne K2 im Bereich -6 <x<6 und K-1/2 im Bereich -3<x<3. (Längeneinheit 1cm)
b) Es sei nun t>0.
Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Hochpunkt von Kt begrenzen zusammen mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Das Schaubild Kt zerlegt das Rechteck in zwei Teilflächen mit den Inhalten A1(t) und A2(t). Bestimme A1(t)!
c) Zu jedem Wert > 0 gibt es einen Wert t*<0, so dass sich die zugehörigen Schaubilder Kt und Kt* im Ursprung rechtwinklig schneiden.
Zeige, dass dann gilt: t * t* =-1.
Die Schaubilder Kt und Kt* schneiden sich außer im Ursprung in zwei weiteren Punkten. Bestimme die Koordinaten dieser Punkte.
Ich hoffe Du kannst mir helfen. Danke :-) |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 06:44: |
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Hi Sarah,
zu a)
Für jedes t ungleich 0 ist f von t eine ganzrationale Funktion 3. Grades.
d.h.
ft(x) hat folgende form:
ft(x)=ax^3+bx^2+cx+d
musst jetzt a,b,c,d bestimmen!
Ihr Schaubild K von t ist punktsymmetrisch zum Ursprung O
-> die funktion ist ungerade ->b=d=0
es tauchen nur ungerade exponenten auf!
Ursprung O, hat dort die Tangente y=tx
->ft`(0)=t
t ist naemlich die steigung der tangente die durch den ursprung geht (0).
die erste ableitung ermittelt ja die steigung im punkt x (=0 hier)
ft`(x)=3ax^2+c
ft`(0)=3a0^2+c=c=t
also sieht ft(x) bisher so aus!
ft(x)=ax^3+tx
Punkt Nt(3t/0):
d.h., ft(3t)=0, einsetzen:
ft(3t)=a(3t)^3+t(3t)=0
27at^3+3t^2=0
a=-1/(9t)
also sieht f so aus:
ft (x) = -1/(9t)x³^3+ tx
Hoch-Tief-Wendepunkte, dafuer brauchst du die ableitung (ft`,ft``)
ft`(x)=-1/(3t)x^2+t
ft``(x)=-2/(3t)x
moegliche hoch-tief-punkte erhaelst du durch die bedingung: ft`(x)=0=-1/(3t)x^2+t
x_e1=+sqrt(3)t
x_e2=-sqrt(3)t
ueberprufen muss du die mit hilfe der zweiten ableitung.
wenn ft``(x_e)>0 -> tiefpunkt
ft``(x_e)<0 -> hochpunkt
ft``(x)=-2/(3t)x
ft``(x_e1)=-2/(3t)sqrt(3)t <0 -> hochpunkt
ft``(x_e2)=-2/(3t)(-sqrt(3))t >0 -> tiefpunkt
moegliche wendepunkte erhaelst du wenn ft``(x)=0
ft``(x)=-2/(3t)x=0 -> x_w=0
Zeichnung ueberlas ich mal dier, mit K2 ist
gemeint:
K2 : f2(x)=-1/18x^3+2x (t=2)
K-1/2 : f-1/2(x)=2/9x^3-1/2x (t=-1/2)
muss erstmal schluss machen sorry, wenn du soweit fragen hast, oder jetzt schon einwenig weiter kommst, und dann auf probleme stoesst, poste nochmal! |
Sarah (Tweety2607)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 18:56: |
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ok, langsam verstehe ich schon etwas mehr (wurde ja auchmal zeit :-))
mmh, nur wie bestimme ich a, b, c und d? Muss ich da jetzt ne Gleichung aufstellen und die gleich Null setzen???
danke für deine Hilfe
Sarah |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 06:08: |
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hmmm, tut mir leid, wenn dir das nicht klar geworden ist, aber das hab ich da oben gemacht:
hab versucht das so aufzubauen:
-hinweis aus der aufgabenstellung
-verdeutlichen was gemeint ist
-auswirkungen fuer a,b,c,d
z.b.
Ihr Schaubild K von t ist punktsymmetrisch zum Ursprung O
-> die funktion ist ungerade ->b=d=0
es tauchen nur ungerade exponenten auf!
lies dir noch mal meinen ersten text durch, vielleicht wird er jetzt klarer! |
Sarah (Tweety2607)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 11:57: |
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uups, ja, hab es dann gestern noch gemerkt und dann auch alles verstanden! *freu*
Auf eins komme ich aber nicht, was bedeutet:
x_e1=+sqrt(3)t
x_e2=-sqrt(3)t
ich verstehe da das sqrt (3)t nicht! sind das einfach variablen und du hättest sie auch anders benennen können?
also, bis dahin habe ich dann wirklich alles verstanden, aber aufgabe b und c raffe ich trotzdem noch nicht
gruß
sarah |
sascha (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 12:20: |
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sqrt=square root
soll die quadratwurzel sein
also auch :
(wurzel aus 3) mal t
wegen b und c schaue montag nochmal rein hab ab jetzt uebers wochenende leider keinen internetzugang (bin auf arbeit :-) )
also bis montag, aber vielleicht hilft dir sonst noch jemand anders! |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 12:55: |
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sehe ja gerade du sollst die montag abgeben!
b)
ist dir klar welches rechteck gemeint ist?
unser hochpunkt ist bei x_e1. musst f(x_e1) (=y_e1) ausrechnen.
Hast dann die koordinaten des hochpunktes P_e1= (x_e1/y_e1).
y_e1=(2sqrt(3)/3)t^2
in y_e1 kann ruhig ein t vorkommen.
durch diesen punkt ziehst du eine waagerechte gerade paralell zur x-achse, und eine senkrechte paralell zur y-achse.
(Zeichnung kannst du ja mal fuer z.b. K2 machen)
wie in der aufgabe gesagt wird das rechteck in zwei teile geteilt. das rechteck hat die flaeche A_rechteck=A_r=x_e1*y_e1
jetzt rechnest du die flaeche die das schaubild und die x-achse einschliessen aus (innerhalb des rechtecks 0,..,x_e1)
integral( -1/(9t)x³^3+ tx dx) in den grenzen von 0 bis x_e1
=( -1/(36t)x^4+(t/2)*x^2 ) in den grenzen von 0 bis x_e1
jetzt noch die grenzen einsetzen:
fuer 0 folgt 0
fuer x_e1=sqrt(3)t folgt -(1/4)t^3+(3/2)t^3
insgesamt also:
integral( -1/(9t)x³^3+ tx dx) in den grenzen von 0 bis x_e1=
0-(5/4)t^3
die flaeche is dem betrage nach dann (5/4)t^3 FE gross, denn t>0.
wie gesagt die flaeche zwischen schaubild und x-achse
wenn mit A1 nicht die flaeche zwischen dem schaubild und der x-achse gemeint ist (wovon ich ausgehe), dann musst du noch
A1=A_r-(5/4)t^3 rechnen. |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 12:57: |
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jetzt muss ich aber wirklich los, wuensche dir trotzdem ein schoenes wochenende :-),
vielleicht findet sich noch jemand fuer c),
hoffe hab in der eile keine fehler eingebaut, also
wenn jemand vorbeikommt, bitte einmal korrigieren :-)! |
tweety2607
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 21:29: |
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danke für alles, die c schaffe ich vielleicht ja noch, wenn ich mir die lösungswege von dir ansehe, dann verstehe ich das ganze auch, aber allein komme ich auf so sachen NIE!
Naja, bin halt kein Mathegenie...
...vielleicht werde ich ja erst noch ein ;-) *lach*
danke für deine Hilfe
Bis dann
sarah |
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