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Beitrag |
    
Elena
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 08:51: | 
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Hallo!
Koennt ihr mir bitte an folgendem Beispiel die Substitionsregel erklären?
$x/wurzel(x-2)
Oder wie man das auch immer loest, ich soll eine Stammfunktion finden.
Danke |
Tini (Tini)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 13:21: |
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Okay, ich versuche mal, das zu erklären...
Ich gehe jetzt mal von den Grenzen a und b aus.
So, zuerst substituierst Du z=Wurzel(x-2)
Dies formst Du dann nach x um:
z=Wurzel(x-2)
<=> z²=x-2
<=> x=z²+2
Also ist g(z)=z²+2
Außerdem brauchen wir die erste Ableitung von g(z):
g'(z)=2z
Und die Umkehrfunktion g-1(z)=Wurzel(z-2)
So, dies setzen wir nun ein:
Integral [Wurzel(b-2) bis Wurzel(a-2)] von [((z²+2)/z)*2z]dz
Kurze Erläuterung dazu:
Zuerst hatte ich die Grenzen a und b. Diese setze ich jetzt in die Umkehrfunktion ein und erhalte so die neuen Grenzen (das ist wichtig, damit sich der Wert nicht verändert).
Für x habe ich (z²+2) (siehe oben) eingesetzt und für Wurzel(x-2) z.
Dann fehlt nur noch die Ableitung 2z.
So, nachdem ich jetzt gekürzt habe (danach: 2z²+4), integriere ich wie gewohnt, so dass ich dann habe:
[(2/3)z^3+4z]-Grenzen: Wurzel(a-2), Wurzel(b-2)
Um die Stammfunktion zu erhalten, setze ich die Grenzen in das Integral ein:
[(2/3)(Wurzel(z-2))³+4*(Wurzel(z-2))]
Dies vereinfache ich dann noch ein wenig und habe dann:
[Wurzel(z-2)*((2/3)z-(4/3))]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, ansonsten müsste es ja soweit stimmen... |
Jochen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 13:44: |
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ich will es mal versuchen:
1) wir setzen z:= x-2
dann ist natürlich: x= z+2(brauchen wir später)
2) wir leiten z= x-2 ab: z' =1
Anstelle von z' verwenden wir das historische Symbol dz/dx
Dies ist eigentlich kein Bruch, aber wir tun so, als ob es einer wäre. Die Gleichung dz/dx=1 stellen wir nach dx um: dx = 1*dz = dz
3) jetzt substituieren wir:
im Nenner schreiben wir statt (x-2) z, im Zähler benutzen wir, dass x= z+2 ist (siehe oben), und dx = dz (haben wir eben berechnet).
wir erhalten:
Integral[x/Ö(x-2)]dx = Integral[(z+2)/Öz]dz
Wir rechnen weiter:
Integral[(z+2)/Öz]dz = Integral[z/Öz +2/Öz]dz = Integral(z/Öz]dz + Integral[2/Öz]dz = Integral[Öz]dz+2*Integral[z^(-1/2)]dz.
Jetzt kannst du integrieren und erhältst
(2/3)*z^(3/2) + 2*2*z^(1/2) +C
Zuletztt musst du noch rücksubstituieren, also wieder für z den Term (x-2) einsetzen:
Die Lösung ist dann:
(2/3)*(x-2)^(3/2) + 4*(x-2)^(1/2) +C
ich hoffe, ich hab dir helfen können.
mfg
Jochen |
Dieter
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 21:18: |
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Eine Frage: Kann man da nicht auch einfach partielle Integration anwenden: x*(x-2)^1/2 |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 23:41: |
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Dann probieren wir es doch mal :
u(x)=x => u'(x)=1
v'(x)=(x-2)-1/2 => v(x)=2(x-2)1/2
Also
òx(x-2)-1/2
= 2x(x-2)1/2-ò2(x-2)1/2
= 2x(x-2)1/2-(4/3)(x-2)3/2
= 2(x-2)1/2(x-(2/3)x+(4/3))
= (2/3)(x-2)1/2(x+4)
= (2/3)(x+4)Ö(x-2)
geht also auch J |
Elena
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 16:10: |
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Und woher weiss ich das Vorher? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 23:35: |
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Das weiss man vorher oft nicht; wenn das eine gar nicht klappt, dann probierst Du das andere. |
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