| Autor |
Beitrag |
    
Joey
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 23:45: | 
|
Wie kann man den Pol zu einer gegebenen Kugel (z.b. x^2=12) und gegebener Polarebene (z.b. 3x+y+2z=4) möglichst einfach berechnen? |
Sven Fischer (Sveun)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 00:17: |
|
Dazu musst du den Mittelpunkt der Kugel bestimmen. Durch ihn läuft eine zu der Polarebene senkrechte Gerade. Den Radius der Kugel kennst du ja (soll ja gegeben sein). Der Abstand zwischen Mittelpunkt des Kreises auf der Polarebene und dem Punkt P (Pol) auf der Gerade ist der Radius des Kreises, und mit dem Abstand kannst du nun den Punkt P (Pol) auf der senkrechten Gerade berechnen. (Das sollte dann nicht mehr so schwer sein) |
joey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 00:24: |
|
sorry, das ist mir nicht ganz klar. der pol liegt doch mitnichten auf der verbindung zwischen mittelpunkt und berührpunkt |
Jochen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 07:53: |
|
Versuch erst mal das analoge zweidimensionale Problem in den Griff zu bekommen!
Statt Kugel hast du einen Kreis und und statt der Polebene eine Polgerade.
Wenn die Polgerade den Kreis schneidet,findest du den Pol so: Bestimme die Schnittpunkte B1 und B2 der Polgeraden und des Kreises! Lege die Tangenten durch die beiden Schnittpunkte! Die beiden Tangenten schneiden sich in P (P = Pol).
Es gilt immer: Die Gerade MP (M= Mittelpunkt des Kreises) ist orthogonal zur Polgeraden!
Nenne nun den Schnittpunkt der Geraden MP und der Polgeraden S. Betrachte das Dreieck MPB1.es ist rechtwinklig, und B1S ist die Höhe.
Nach dem Kathetensatz des Euklid gilt:
|MP| * |MS| = |MB1| = r².
Mit Hilfe dieser Gleichung kannst du auch definieren, was der Pol zu einer Polgeraden ist, die den Kreis nicht schneidet:
Der Pol ist der Punkt P für den gilt:
1) MP ist orthogonal zur Polgeraden
2) |MP| * |MS| = |MB1| = r².
Wenn du das verstanden hast, solltest du keine Probleme mehr mit Svens Erklärung haben
mfg
Jochen |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 08:06: |
|
Hi Joey ,
Ich zeige Dir den kürzesten Rechenweg von der
gegebenen Polarebene
E: 3x + y + 2z = 4
zum Pol P1 (x1/y1/z1) bezüglich der Kugel
x^2 + y^2 + z^2.=12
Die allgemeine Gleichung der Polarebene im vorliegenden
Fall lautete:
E* ::x1 x + y1 y + z1 z = 12
Wir identifizieren E mit E* (Proportionalität der Koeffizienten
in den Ebenengleichung):
Aus x1 / 3 = y1 / 1 = z1 / 2 = 12/ 4 folgt:
x1 = 9 , y1 = 3 , z1 = 6 , also:
Pol P1(9/3/6)
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Joey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 14:29: |
|
danke, alle hüte ab. hier hat jemand schwer ahnung. bin nämlich eigentlich auch vom "fach". aber das beispiel ist ja leider ein sonderfall mit mittelpunkt im ursprung. wie ist die allgemeine vorgehensweise?
bsp: K: (x-2)^2+y^2+(z-2)^2=64
E: -x+3y+3z=24 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 16:19: |
|
Hi Joey ,
Für die Kugel in allgemeiner Lage mit der Gleichung
(x-u)^2 + (y-v)^2+(z-w)^2 = r^2 lautet die Gleichung
der Polarebene mit P1(x1/y1)z1) als Pol so:
(x1-u) * (x-u) + (y1-v)*(y-v) + (z1-z)*(z-w) = r^2,
also für Dein Beispiel:
( x1-2 ) * ( x -2 ) + y1* y + ( z1 - 2)* (z - 2 ) = 64 oder
( x1-2 ) * x + y1* y + (z1 - 2)* z = 56 +2* x1 +2* z1
Ein Vergleich mit der von Dir gegebenen Ebene ergibt das
Gleichungssystem:
(x1-2) / (-1) = y1 / 3 = ( z1 - 2) / 3 = (56 + 2 x1 + 2 z1) / 24.
Die Lösungen , erhältlich nach kurzer Rechnung , lauten:
x1 = - 6 / 5 , y1 = 48 / 5 , z1 = 58 / 5 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
tim
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 16:25: |
|
Hallo Joey, Was sind hinreichende und notwendige Bedingungen? Vielen Dank. |
joey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 20:22: |
|
vielen dank. nicht schlecht diese methode. aus welchem buch hast du sowas? kennst du was über hyperbolische paraboloide?
(habe die aufgabe übrigens mit hilfe des kathetensatzes gelöst! scheint mir noch etwas vertrauter wie deine idee.) |
joey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 20:28: |
|
die notwendige bedingung für eine extremstelle ist f'(x)=0, d.h. die steigung ist in einem maximum ODER minimum gleich null. um festzustellen ob es sich bei den lösungen dieser gleichung um ein minimum oder maximum handelt musst du noch überprüfen ob an den fraglichen stellen eine rechtskurve (f''(x)<0) oder eine linkskurve (f''(x)>0) vorliegt. diese bedingung, dass die zweite ableitung dort ungleich null ist nennt man hinreichende bedingung. (nicht mathematisch streng aber hoffentlich für dich "hinreichend") |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 21:39: |
|
Hi Joey,
Wie lauten Deine Fragen zum hyperbolischen Paraboloid ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath . |
joey
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 14:27: |
|
einfach nur übungsaufgaben zu diesem thema. gibt es andere aufgaben als
1)aufstellen mit hilfe des gleichen abstandes zu zwei geraden
2) aufstellen mit zwei enthaltenen windschiefen geraden
3) schnittaufgaben
4) tangenten bzw. tangentialebenen ausrechnen
5) drehungen der fläche? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 15:29: |
|
Hi Joey,
Hier präsentiere ich Dir einige Aufgaben
zum hyperbolischen Paraboloid.
Sie weichen zwar nicht wesentlich von den erwähnten
Routineaufgaben ab, erfordern aber doch ein gewisses
Durchstehvermögen.
Ausserdem seien sie an ein breiteres Publikum gerichtet,
unter denen sich sicher auch Spezialisten und Freunde
des hyperbolischen Paraboloides befinden.
Ich würde mich sehr freuen ,wenn ich per e-mail
Lösungsvorschläge erhielte.
Grundlagen
Gleichung des hyperbolischen Paraboloides in einfacher Lage :
x ^2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 2 p z / a ^ 2 ; a , b , p konst.
Zugehörige Gleichung der Polarebene mit P1(x1/y1/z1) als Pol
x1* x / a^2 - y1* y / b^2 = p * ( z + z1 ) / a^2
Gleichzeitig ist dies die Gleichung der Tangentialebene mit
P1 als Berührungspunkt.
Aufgabe 1
°°°°°°°°°°°
Beweise:
Damit die Ebene A x + B y + C z + D = 0 das oben vorgegebene
hyperbolische Paraboloid berührt, ist notwendig und hinreichend,
dass die Relation
p * A^ 2 * a ^ 2 - p * B ^ 2 * b ^ 2 - 2 * C * D * a ^ 2 = 0
erfüllt ist.
Aufgabe 2
°°°°°°°°°°°
Gegeben ist das hyperbolische Paraboloid
16 * x ^ 2 - 9 * y ^ 2 = 36 * z sowie der Punkt
P1 (3/2/3) auf der Fläche.
a) ermittle die Gleichung der Tangentialebene T in P1
b) T schneidet das Paraboloid in zwei Geraden g und h
Bestimme die Gleichungen der Projektionen g' und h'
von g und h auf die (x,y) -Ebene.
Aufgabe 3
°°°°°°°°°°
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g und h.
Bestimme die Gleichung der Ortsfläche für alle Punkte P,
deren Abstände von g und h üereinstimmen.
g sei die x-Achse , y die Parallele zur y-Achse durch
den Punkt A (0 / 0 / 1)
Analysiere die Fläche en détail.
Aufgabe 4
°°°°°°°°°°
Diskutiere die Fläche F mit der Gleichung
2 x y - x - y + z = 0
a) Weise nach, dass die Fläche keinen Mittelpunkt hat.
b) Ermittle die Eigenwerte der zugehörigen quadratischen
Form
N.B
Die Vorzeichen der Eigenwerte entscheiden darüber,
ob ein elliptisches oder ein hyperbolisches Paraboloid
vorliegt.
Welcher der beiden Flächentypen liegt vor ?
Ende
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
. |
Joey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 17:18: |
|
vielen dank! die aufgaben sind zwar für meinen bedarf etwas schwierig, aber trotzdem alle hüte ab!
bis demnächst mal wieder! |
|
