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Beitrag |
    
Radej
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 10:56: | 
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Hi, kann mir jemand vielleicht mit dieser Aufgabe helfen?
Gegeben sind eine Ebene E1 : 2x+y+2z=15 und eine Geradenschar g(k) : x = (7;-1;1)+r*(2k+1; -2; -2k) mit k Î R.
a) Die Ebene E1 ist Tangentialebene an eine Kugel K um M(-2|-1|1). Ermittle den Berührpunkt B und den radius R der Kugel!
b) Die Gerade der Schar zu k=2 bestimmt mit dem Punkt M eine Ebene E2. Ermittle eine Normalengleichung von E2!
c) Untersuche die gegenseitige Lage von E1 und E2; bestimme den Abstand oder die Schnittgerade und die Größe des Schnittwinkels!
d) Zeige, dass alle Geraden g(k) der schar in derselben Ebene E3 liegen! Mit welcher Ebene ist E3 identisch?
e) Zeige, dass wenigstens eine Gerade g(k) der Schar Tangente an die Kugel ist! Ermittle die Gleichung(en) dieser Tangente(n)! |
conny (Conny)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 12:05: |
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Hi
Ich fange mal mit der a) an:
runde Klammern sind Punkte, eckige (<.,.,.>) stellen Vektoren dar.
a) Um den Berührpunkt zu finden und den Radius auszurechnen kannst du z.B. eine Gerade finden, die durch den Kugelmittelpunkt geht und orthogonal zu E1 ist, und diese dann mit der Ebene schneiden. Der Schnittpunkt S ist der Berührpunkt B und der der halbe Betrag des Vektors BM ist der Radius.
Jetzt zur Gerade.
Den normalen Vektor zu E1 hast du ja schon. Er ist <2,1,2>. Jetzt kannst du den Mittelpunkt als Aufhängevektor der Gerade nehmen:
h:x=<-2,-1,1> + t*<2,1,2>
Diese Gerade schneidest du mit der Ebene:
x=-2+2t
y=-1+t
z=1+2t in 2x+2y+z=15:
2(-2+2t)+2(-1+t)+(1+2t)=15
-4+4t-2+2t+1+2t=15
8t=20
t=5/2
S=<-2,-1,1>+5/2*<2,1,2>
S(3/1,5/6)=B
Vektor BM<5,5/2,5>
|BM|=Wurzel(25+25/4+25)=15/2
r=1/2*|BM|=15/4
So das war die a)
Der rest kommt später |
conny (Conny)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 15:38: |
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Also jetzt zur b)
g(2):x=<7/-1/1>+r*<5/-2/-4> und M(-2/-1/1)
Um eine Gleichung für eine Ebene zu finden brauchst du einen Punkt und 2 Vektoren, die in der Ebene liegen, um daraus den orthogonalen Vektor zu berechnen. Mit diesem kannst du die Ebene dann ausrechnen:
E: (<x/y/z>-<P>)*<n>=0
wobei <P> der Ortsvektor deines Punkts ist und <n> der normale Vektor.
Als Punkt nimmst du am besten den Mittelpunt oder den Aufhängepunkt der Geraden. Einen Vektor hast du auch schon, nämlich den der Geraden:a=<5/-2/4> und ein weiterer könnte der Verbindungsvektor zwischen M und dem Aufhängepunkt sein: b=<9/0/0> oder gekürzt <1/0/0>
Um den normalen Vektor zu finden, musst du das Spatprodukt der beiden bilden:
|i j k|
|5 -2 4|=axb = i(0)-j(-4)+k(2)
|1 0 0|
--> <n>=<0/4/2>
Und die Ebene: <x+2/y+1/z-1>*<0/4/2>=0
--> 0*(x+2)+4*(y+1)+2*(z-1)=0
E2:4y+2z=-2 |
conny (Conny)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 16:00: |
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c) Da die normalen Vektoren nicht parallel sind, schneiden sich die Ebenen.
Um die Schnittgerade zu finden löst man einfach das LGS der beiden Ebenen:
(1):4y+2z=-2
(2):2x+y+2z=15
--------------
aus (1): z=-2y-1
in (2): 2x+y+2(-2y-1)=15 <=> 2x=3y+17 --> x=3/2y+17/2
Jetzt kannst du y als Parameter nehmen: y=t
k:x=<1,5*t+8,5/t/-2t-1>=<8,5/0/-1>+t*<1,5/1/-2>
Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den normalen Vektoren:
<n1>*<n2>/(|n1|*|n2|)=cos(b)
<0/4/2>*<2/1/2>=8
|n1|*|n2|=Wurzel(0²+4²+2²)*Wurzel(2²+1²+2²)=Wurzel(20)*Wurzel(9)=2*Wurzel(5)*3=6*Wurzel(5)
b=cos-1(8/(6*Wurzel(5)))=53,39° |
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