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Beitrag |
    
Carmen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 11:05: | 
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1.Wie bestimme ich den Wertebereich einer Funktion?
Beispiel: f(x)= 1-x²/1+x²
2.Wann ist ein Intervall offen , geschlossen bzw. halboffen?
Beispiel: die arcsin Funktion ist ja nur für x aus dem abgeschlossenen Intervall [-1;1] definiert.
Bedeutet abgeschlossen soviel wie <= und >=? |
Jochen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 13:04: |
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Zu 1:
Ich bestimme- so unbefriedigend das auch sein mag, den Wertebereich nicht nach einem Standardverfahren, sondern von Fall zu Fall anders.
In deinem Beispiel (vermutlich meinst du f(x)= (1-x²)/(1+x²) , also mit Klammern):
a) es ist offensichtlich f(x) <=1 für alle x, da für x ungleich 0 der Nenner größer ist, als der Zähler
b) der Graph ist offensichtlich achsensymmetrisch zur f(x)-Achse, es genügt daher, positive Werte von x zu betrachten.
c) die 1. Ableitung zeigt, dass für positive x die Funktion f streng monoton fällt.
d) Ich berechne den Grenzwert für x -> unendlich von f(x) dieser Grenzwert ist -1.
Aus a) bis d) folgt, dass die Wertemenge der Funktion f das Intervall ]-1;1] ist.
Damit bin ich bei der 2. Frage
offensichtlich gehört die Zahl 1 zur WErtemenge, da f(0) = 1 gilt.
-1 gehört jedoch NICHT zur Wertemenge.
Daher ist die WErtemenge das halboffene Intervall.
Allgemein: abgeschlossen bedeutet, das die Randpunkte zum Intervall gehören, offen beduetet, dass sie nicht dazu gehören, und halboffen bedeutet, dass einer der Randpunkte dazugehört, der andere aber nicht.
die WErtemenge ist also das links offene, rechts abgeschlossenen Intervall von -1 bis 1, was man kurz ]-1;1] schreibt. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 02:27: |
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Hi Carmen
Ich versuche mal eine Vorgehensweise anzugeben für 1.:
Leite einmal ab und bestimme die Intervalle von f ' mit positivem Vorzeichen und die mit negativem Vorzeichen (also Vorzeichen der 1.Ableitung): in diesen Intervallen ist f streng monoton wachsend (f '>0) oder streng monoton fallend (f '<0).
Ausserdem untersuchst Du das Verhalten für x--->+/-unendlich und das Verhalten an den Definitionslücken (bzw das Verhalten an Definitionsrändern die eine Zahl sind, wie bei ln(x) : 0<x<unendlich ... da ist es die 0)
Nun betrachte für jedes Intervall, in dem f streng monoton ist, das Verhalten von f am linken und an rechten Rand: in denen nimmt die Funktion jeden Wert zwischen dem linken und dem rechten Rand an.
Ist in einem Intervall ein Rand mit dabei (abgeschlossener Rand), dann ist auch der Funktionswert dieser Zahl im Wertebereich dabei, falls der Rand offen ist, dann ist der Wert an diesem Rand nicht dabei.
Schliesslich bildest Du die Vereinigungsmenge aller gefundenen (Werte-)Bereiche.
Dein Beispiel lautet wahrscheinlich
f(x)=(1-x^2)/(1+x^2)
f '(x)=[-2x*(1+x^2)-(1-x^2)*2x]/(1+x^2)^2
=(-2x-2x^3-3x+2x^3)/(1+x^2)^2
=-5x/(1+x^2)^2
Vorzeichen der 1.Ableitung f ':
Da der Nenner von f ' stets positiv ist,
der Zähler -5x für x<0 aber auch, ist f streng wachsend im Intervall (-oo;0] ("oo" heisst unendlich).
(Die eckige Klammer bei der Null darf man machen, da f trotzdem streng monoton ist, falls f '(x)>=0 und "f '(x)=0 nur an endlich vielen Stellen eines Intervalls")
Da der Zähler für x>0 negativ ist, ist f im Intervall [0;oo) streng fallend.
Wieder darf die Null dabei sein ([0;oo)), da f'(x)=0 nur bei x=0 gilt und das nur eine einzige Stelle ist (also endlich viele) .
(Bei x=0 hat man ausserdem ein lokales Maximum H(0|1) gefunden, da f ' dort einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat).
Jetzt das Verhalten an allen Rändern:
für x--->oo gilt f(x)--->-1
für x--->-oo gilt f(x)--->-1
Zahlenränder gibt es keine, da D=R (keine senkrechten Asymptoten oder "Löcher").
Fazit:
Im Intervall (-oo;0] nimmt f alle Werte vom Grenzwert -1 (nicht einschliesslich der -1, da dieser Rand ein offener Rand ist, also ist -1 nicht dabei) und f(0)=1 (einschliesslich der Zahl 1, da dieser Rand ein abgeschlossener ist, d.h. die Null ist dabei und f(0)=1 kann dann berechnet werden) an: (-1;1]
Im Intervall [0;oo) nimmt f alle Werte von f(0)=1 (einschliesslich der Zahl 1, da dieser Rand ein abgeschlossener Rand ist) und dem Grenzwert -1 an (nicht einschliesslich der Zahl -1, da dieser Rand ein offener ist, d.h. die -1 ist wieder nicht dabei): (-1;1]
Insgesamt ergibt sich die Vereinigungsmenge von (-1;1] und (-1;1], also W=(-1;1].
Weiteres Beispiel:
f(x)=(x+1)/(x^2-1) ; x in R ohne -1 und ohne 1
aber f(x) kann man kürzen:
f(x)= (x+1)/[(x-1)*(x+1)]
Damit kann man f einfacher darstellen als
f(x)=1/(x-1) ; trotzdem bleibt der Definitionsbereich R ohne -1 und ohne 1
f '(x)=-1/(x-1)^2
f ' ist stets negativ in den Intervallen, in denen f ' definiert ist, also ist f streng monoton fallend in den Intervallen (-oo;-1), (-1;1) und (1;oo)
(beachte, dass f auch bei -1 nicht definiert ist!, obwohl die gekürzte Funktion 1/(x-1) dort berechnet werden kann)
Für x--->-oo oder x--->oo gilt f(x)--->0
Für x--->-1 für x<-1 gilt f(x)--->-1/2
Für x--->-1 für x>-1 gilt f(x)--->-1/2
Für x--->1 für x<1 gilt f(x)--->-oo
Für x--->1 für x>1 gilt f(x)--->oo
Deswegen erhältst Du für das Intervall
(-oo;-1) die Wertemenge W1=(-1/2;0)
(-1;1) die Wertemenge W2=(-1/2;-oo)
(1;oo) die Wertemenge W3=(-1/2);oo)
Insgesamt also die Vereinigungsmenge
W=R ohne -1/2 und ohne 0
ciao |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 02:31: |
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Statt (-1;1] schreibt man auch oft ]-1;1] oder
statt [0;2) auch [0;2[
Also für einen links offenen Rand ( oder ]
für einen rechts offenen Rand ) oder [ |
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