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maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. April, 2001 - 20:35: | 
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well, ich habe gelesen, dass man Funktionen auch wenn sie nicht monoton steigend / fallend sind, umkehren kann. (also nur für die Rotation um die y-Achse).
man benutzt dann die formel
V = pi * integral( x² * f'(x)) dx
nur warum ist das so? das würde mich mal brennend interessieren. Gibt es auch einen beweis dafür, dass man diese Formel ohne weiteres anwenden darf für alle Rotationen um die Y-Achse? oder darf man dies nur bei Funktionen nichtmonotonen Funktionen benutzen |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. April, 2001 - 22:26: |
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Hallo Maddes,
zunächst einmal: Funktionen kann man per Definition dann, und nur dann umkehren, wenn es für jedes Element aus dem Intervall I die Zuweisung I: f'(x) >< 0 gilt. Also konkret, als
Beispiel: y = sin x ist sicherlich nicht streng
monoton in ganz R, dafür aber z.B. auf I = ]-p/2;+p/2[. Funktionen, die auf diesem I nicht monoton sind, kann man dort auch nicht umkehren.
Zu Deiner Formel:
In vielen Fällen rückt man von der Volumenformel
Vy = p Int x2 dy
bei y-Rotation ab, etwa wenn das Auflösen von f(x) nach x bzw. x2 sehr umständlich oder unmöglich ist. Letzterer Fall heißt aber, das die Funktion nicht umkehrbar ist. In diesem Fall helfen wir uns mit einem Trick weiter:
Es ist bekanntlich  dy / dx = f'(x)
Aufglöst nach dem Integrationsdifferential dy ergibt sich
dy = f'(x) dx und dies eingesetzt in Vy ergibt Deine Volumenformel. Damit haben wir sie nicht nur bewiesen, sondern auch eine praktische Methode kennengelernt, um solche Probleme zu lösen.
Übrigens, die Formel "funktioniert" auch bei umkehrbaren Funktion, ist häufig sogar noch schneller!
Alles klar?
Viele Grüße
 Oliver |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. April, 2001 - 23:00: |
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mhhhhh, also irgendwie kann ich dir nicht ganz folgen... Ich glaube es hakt an der stelle wo du schreibst dy / dx = f'(x)
das ist für mich klar.. Aber leider nur als Steigungsfunktion. Was das mit Integralen zu tun hat... mh, da kann ich mich nicht mehr dran erinnern.. mh, also mit diesem Integrationsdifferential habe ich nicht gerechnet in der Schullaufbahn bis jetzt, oder vielleicht schon, bin mir aber nicht bewusst darüber. Vielleicht ist es das beste, wenn ich diesen kleinen beweis dann in der Abiklausur kurz anführe, und dann kann ich die "neue" Formel benutzen, da es einfacher ist eine funktion abzuleiten, als die Umkehrfunktion zu bilden *juchu!*
vielleicht kannst du ja nochmal auf dieses Integrationsdifferential eingehen...
-maddes |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 13:34: |
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NAAAAIN, ••••, jetzt hab ich die messie umsonst getippt... *argh* okay, noch einmal..
also ich habe mich gestern abend nochmal hingesetzt und habe ein Beispielaufgabe gerechnet, und bei mir kam nicht das selbe Ergebnis raus, wie bei der anderen Methode..
Beispielfunktion war f(x) = x² (auf Interval 0 bis 3)
1. Methode
Zeigen, dass die Funktion monoton wachsend ist... kein Problem 2x ist monoton wachsend für x e |R > 0 (usw)
dann umkehrfunktion bilden
f^-1(x) = sqrt(x)
(f^-1(x))² = x
dann ist das Volumen
V = pi * int (x) dx = pi [1/2 x²] = 4,5pi
2. Methode
V = pi * int (x² * f'(x)) dx
V = pi * int (x² * 2x) dx = pi * int (2x³) dx
= [0,5x^4] = 40,5pi
also ein völlig anderer Wert, wie ist der zu erklären???? Helft mir biiitte! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 17:08: |
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Hi Maddes,
natürlich muss bei beiden Methoden dasselbe herauskommen. Du hast aber bei Methode 1 einen kleinen Fehler gemacht, und zwar hast du ein Intervall von Ix=[0;3] angegeben.
Das ist (natürlich) o.k., aber du darfst nicht vergessen, die Grenzen zu transformieren, also aus Ix=[0;3] wird Iy=[0;9], und das sind die Grenzen für das Integral
Vy = p Int y dy = 40,5p
Noch eine Anmerkung zu Methode 2.:
Das Integrationsdifferential ist dx, oder dt oder
dy oder dz, ganz egal, aber an dem letzten Buchstaben erkennst du immer die Variable, nach der integriert wird. Benutzten wir die Beziehung dy / dx = f'(x) dann müssen wir aus y-Grenzen [0;9] wieder x-Grenzen machen [0;3]. Das stimmt mit Deinem Ergebnis von Methode 2 überein!
Ein Geheimtip bei Rotationsproblemen ist die sog. DS-Methode (Derived-Shell-Method = Ableiten-Schalen-Methode). Hast Du Dir schonmal überlegt, was passiert, wenn die zu rotierende Fläche nicht in Richtung der y-Achse liegt? Nimm z.B. y = x2 und rotiere die Fläche UNTER dem Graphen von 3 bis 0 um die y-Achse.
Das Interessante ist, dass die obigen Formel dabei versagen (warum?). Wenn Du daran Interesse hast, melde dich wieder!
Bis dahin,
Oliver |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 17:45: |
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muss jetzt mal wieder verdauen!!!
ein toller moderator bist du mir! (ohne scheiß jetzt!), wirklich, du scheinst dich gut um die Leute hier zu kümmern
ich werd mal drüber nachdenken!
-maddes |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 18:23: |
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Hallo Maddes!
Du schreibst:
1. Methode
Zeigen, dass die Funktion monoton wachsend ist... kein Problem 2x ist monoton wachsend für x e |R > 0 (usw)
Die richtige Argumentation sollte eher lauten: "2x ist größer Null für x>0"
mfG |
Petra (Petra)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 19:35: |
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Hi Oliver!
Also mich würde das schon interessieren, warum die Formeln von Maddes versagen, wenn die Fläche unter dem Graphen liegt.
Petra |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 00:16: |
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Hallo Maddes,
danke für die Blumen, ich bin aber kein Moderator. Wenn Du "verdaut" hast, melde Dich wieder!
Hi Petra,
danke für das Interesse. Aber es ist schon früh am morgen, ich erkläre das lieber etwas später heute. Also, schau wieder rein!
Bis dahin,
Oliver |
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