| Autor |
Beitrag |
    
Jochen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. April, 2001 - 16:42: | 
|
Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll wenn ich Grenzwerte berechnen soll.
Kann mir vielleicht jemand ein genaues Schema geben mit erläuternden Sätzen wie er die Grenzwerte mit der obigen Regel berechnet????
Vielen Dank........ |
Jo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. April, 2001 - 17:08: |
|
Hallo Jochen
Die Regel ist für den einfachen Fall sehr leichtanzuwenden
Der einfache Fall ist, dass du einen Bruch vorliegen hast, bei dem die Grenzwerte vom Zähler und vom Nenner beide den Wert 0 haben.
Beispiel: lim für x gegen Null von (sin(x)/x)
da der Grenzwert vom Nenner den Wert Null hat, kannst du die Grenzwertsätze nicht anwenden.
Die Regel von de'l Hospital sagt nun, dass du Zähler und Nenner getrennt ableiten musst (also NICHT die Quotientenregel anwenden!) Dieser Grenzwert stimmt dann(wenn er existiert) mit dem urspünglichen überein.
im Beispiel erhältst du:
lim für x gegen 0 von(cos(x)/1)
diesen Grenzwert kannst du nach den Grenzwertsätzen leicht ausrechenen (er ist 1).
Voraussetzung ist natürlich, dass Zähler und Nenner differenzierbar sind.
Dieser Standardfall (genannt "0/0")ist die Grundlage. Andere Fälle wie z.B "unendlich/unendlich" "unendlich mal null" oder ähnliche unbestimmte Ausdrücke lassen sich durch z.Teil trickreiche Umformungen auf "0/0" zurückführen. wenn du einen von diesen Fällen vorliegen hast, gib am besten an, welchen Grenzwert du berechnen willst. |
Petra (Petra)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. April, 2001 - 17:10: |
|
Hallo Jochen!
Nehmen wir mal die Funktion f(x) = x/e^x
Hier kannst du nicht so ohne weiteres den Grenzwert bestimmen. Denn wenn du Zähler und Nenner gegen oo laufen läßt, steht da: oo/oo
Deshalb mußt du nun entscheiden, welche Funktion schneller wächst, die im Nenner oder die im Zähler. Dazu bildest du jeweils die 1. Ableitung. Also:
lim (g(x)/h(x)) = lim (g'(x)/h'(x)) ,
h(x) ungleich 0
In unserem Fall wäre das also:
lim x/e^x = lim 1/e^x = 0
Diese Regel kannst du auch beliebig oft anwenden.
Bsp: f(x) = x^2/e^x
lim x^2/e^x = lim (2x)/e^x = lim 2/e^x = 0
Ich hoffe das war verständlich so! Wenn nicht, dann frag nochmal nach.
Generell kannst du dir merken: e-Funktionen wachsen stärker als Exponentialfunktionen und diese wachsen stärker als ln-Funktionen. Dann brauchst du das mit L'Hospital nicht machen.
Petra |
|
