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Beitrag |
    
Zveni (Zveni)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 14:35: | 
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Hallo ich finde bei der Aufgabe 1 einfach keinen Ansatz. Von was
muß ich das Extremum suchen? Bei Aufgabe 2 stellt mir mein TI 89
einen ganz komischen Graph da. Wie bilde ich die Ableitungen?
Vielen Dank für Eure Mühe
1) Zu gegebenen Zahlen a(1),..., a(n) soll eine weitere Zahl a so
bestimmt werden, daß die Summe der Quadrate der Abweichungen
a-a(1),..., a-a(n)minimal wird.
2) Bestimme sämtliche Extrema der Funktion
f: R -> R
f(x) = 1+2x^2-(x^4/4) |
Lerny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 17:00: |
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Hi Zveni
zu 2)
f(x)=1+2x²-x4/4
f'(x)=4x-x³
f"(x)=4-3x²
Extrema: f'(x)=0
4x-x³=0
x(4-x²)=0
x=0 oder 4-x²=0
x=0 oder x=2 oder x=-2
Überprüfung mit 2. Ableitung
f"(0)=4>0 => Min
f"(2)=4-12=-8<0 => Max
f"(-2)=4-12=-8<0 => Max
Jetzt noch die entsprechenden y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung ermitteln und fertig.
mfg Lerny |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 21:36: |
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Hi Zveni,
nachdem Lerny sich um die 2. Aufgabe gekümmert hat, möchte ich Dir meinen Lösungsweg zur 1. Aufgabe nicht vorenthalten.
Die Rechnung ist einfacher als sich die Aufgabe anhört. Wenn Du Schwierigkeiten damit hast, einen Ansatz zu finden, dann überlege Dir folgendes:
Es seien n Zahlen gegeben:
Also ist es uns überlassen welche wir nehmen, starten wir mal mit a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4. Bei dieser Menge und Konfiguration belassen wir es erstmal. Nun wählen wir a = 5. Die Abweichungen errechnen sich dann wie folgt:
d1 = 5 - 1 = 4
d2 = 5 - 2 = 3
d3 = 5 - 3 = 2
d4 = 5 - 4 = 1
Soweit, so gut. Die Quadrate sowie die Summe S aller dn ´s (S=30) zu berechnen stellt kein Problem dar. Nun ist aber genau das a gesucht, das bei den gegebenen n Zahlen die KLEINSTE Summe der Quadrate der Abweichungen erzeugt. Wie machen wir dass?
Die Abweichungen dn lassen sich auch als Summenzeichen mit 1 als unteren und n als oberen Index schreiben, doch das nur am Rande. Schreiben wir
S = (a - 1)2 + (a - 2)2 + (a - 3)2
+ (a - 4)2
dann können wir nach dem Ausmultiplizieren und Ordnen auch schreiben
S = 4a2 - 2a - 4a - 6a - 8a + 1 + 4 + 9 + 16
S = 4a2 - 20 a + 30
Diese Summe soll nun minimal werden. Zweimaliges Ableiten ergibt
S' = 8 a - 20
S'' = 8
Die Nullstelle der ersten Ableitung S' ist a = 2,5. Da S'' konstant > 0 ist, stellt sich für a = 2,5 also stets ein Minimum ein.
Damit wäre die Aufgabe gelöst. Jetzt bleibt nur noch, von unserem sehr speziellen Beispiel abzurücken und noch eine allgemeine Lösung zu präsentieren. Wenn du meine obigen Ausführungen verstanden hast, stellt dies kein Problem mehr für Dich dar.
S = (a - a1)2 + (a - a2)2 + (a - a3)2 + ... + (a - an)2
Ausmultiplizieren und Ordnen ergibt hier:
S = na2 - 2aa1 - 2aa2 - ... - 2aan + [a1]2 + ... + [an]2
Zweimaliges ableiten führt dann zu:
S' = 2na - 2a1 - 2a2 - ... - 2an
S'' = 2n (>0)
Auflösen von S' = 0 nach a ergibt:
a = [ 2 (a1 + ... + an) ] / 2n
a = [ a1 + ... + an ] / n
und das war zu zeigen.
Der Zähler läßt sich auch bequem in Summenschreibweise notieren!
Wenn Du Fragen hast, zögere nicht mir sie hier im Forum zu stellen!
Viele Grüße
 Oliver |
Zveni (Zveni)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 11:00: |
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Hallo
Super vielen Dank für Eure verständlichen Lösungen. Ihr habt mir sehr geholfen.
Zveni |
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