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Beitrag |
    
Radej
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 15:44: | 
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Hallo! Bei der folgenden Aufgabe habe ich die Punkte a) bis d) errechnet. e), f) und g) sind die Hölle ...
Gegeben sind eine Ebene e durch x+y+z=4 und eine Kugel K mit M(5|3|5) und r=6,
Die Punkte P(1)(1|-1|3) und P(2)(2|-1|3).
a) Zeige, dass P(1) auf der Kugel K und P(2) in der Ebene e liegt !
b) Die Gerade g führt durch P(1) und P(2). Berechne die Länge der Sehne, die von der Kugel aus der Geraden g ausgeschnitten wird !
c) Zeige, dass die Ebene e die Kugel K schneidet ! Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes M* und den Radius r* des Schnittkreises K* !
d) Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene t(1), die die Kugel K in P(1) berührt !
e) Die zu t(1) parallelen Ebenen, die die Kugel K schneiden, bilden eine Ebenenschar e(k). Ermittle die zulässige Werte von k Î R und bestimme eine Gleichung der Schar !
f) Ermittle diejenigen Ebenen der Schar e(k), die aus der Kugel Kreise mit den Radien r(1) = 2Ö5 und r(2) = 3Ö3 ausschneiden !#
g) Ermittle eine Gleichung derjenigen Kugel, die durch Spiegelung der Kugel K an der Ebene e(1) entsteht !
P(1) und P(2) werden gelesen „p eins und p zwei“. (- nur zur Verständigung) |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 22:10: |
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e) Die Ebene T1 aus Teilaufgabe d) lautet
T1: 2x+2y+z=3
Die Ebene T2, die zu T1 parallel ist und auch Tangentialebene an K ist, lautet
T2: 2x+2y+z=39
T1 und T2 haben natürlich Abstand d=2*r=12
Die Ebeneschar lautet damit:
E(k): 2x+2y+z=k
Die zulässigen Werte von k sind 3<=k<=39, denn genau diese haben von M den Abstand 0 bis 6, schneiden die Kugel (in mindestens einem Punkt).
f) Der Abstand vom Mittelpunkt M(5|3|5) zur Ebene E(k) muss nach Pythagoras d^2=r^2-r(1)^2 sein
Also d=wurzel(36-r(1)^2); leider kann ich nicht lesen, welche Zahl bei Dir r(1) sein soll.
Nehmen wir also an, d zu kennen.
Jetzt setzt Du den Mittelpunkt in die HNF (Hesse'sche Normalform) der Ebenenschar ein. Die HNF lautet:
(2x+2y+z-k)/3=0 (der Normalenvektor hat ja Länge 3)
also bekommt man
d=|10+6+5-k|/3
+/- 3d= 21-k
Also k=21 +/- 3*d
g)
Ich nehme an, dass mit e(1) die Ebene e:x+y+z=4 gemeint ist.
Auf alle Fälle musst Du nur den Mittelpunkt der Kugel an der Ebene spiegeln.
Dazu stellt man eine Hilfsgerade l auf senkrecht zu e, die durch M geht:
l:x=(5;3;5)+t*(1;1;1)
Diese mit e schneiden:
5+t+3+t+5+t=4
3*t=-9
t=-3
Das ergibt den Schnittpunkt S(2|0|2) und der Vektor von M zu s lautet MS(-3;-3;-3)
Den hängst Du an S wiederum an und erhältst
M'(-1;-3;-1); r'=6=r |
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