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katya
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 17:39: | 
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Hi Mathefreunde!
Ich habe hier eine Klausur aus der 12. Klasse und wollte euch mal um Rat fragen:
Gegeben sind:
A(2/1/3), B(4/3/7), C(5/3/7), D(7/5/11)
und g: x= (3/4/15) + Lamda * (-1/0/2)
Sieht jetzt ein bisschen blöd aus, ich hoffe ihr wisst, wie ich's meine.
Frage: Schneidet g das Viereck ABCD? |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 20:45: |
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Zunächst einmal: ist das ding wirklich ein Viereck? (Ist es wirklich eben)
Dazu bildet man die Determinate von a-b, b-c, c-d; wenn sie gleich null, dann ist es eben. Das ist der Fall.
Man kann eine Ebenengleichung aufstellen (AB und BC sind Richtungsvektoren). (2/1/3)+ m*(2/2/4)+n*(1/0/0) und den Schnittpunkt mit der Geraden ausrechnen: m=1,5, l=-3, n=1 => S(6/4/9)
Man sieht dass S CD halbiert; Also schneidet g den Rand des Vierecks.
Allgemein (wenns nich so leicht zu sehen ist):
Für jeden Punkt der innerhalb (inklusive Rand) eines Dreiecks liegt, gilt für die Winkel: APB, BPC, CPA, dass ihre Summe 360° sein muss, wohingegen jeder Punkt ausserhalb eine kleiner Wnkelsumme hat, wenn man als Winkel immer den kleineren ansieht: entweder f oder 360°-f.
cos(f)=(AP°PB)/(|AP|*|PB|)
Man müsste das Viereck in Dreiecke zerlegen, damits sicher geht; für konvexe Vierecke muss die Winkelsumme von APB, BPC, CPD, DPA 360° sein; das kann zwar schneller gehen, als zwei Dreiecke durchzuprobieren, aber beweis das erst mal, dass es wirklich konvex ist.
Es bleiben noch Fragen: Welcher Peiniger lässt sich so eine (für meine Begriffe äusserst) schwere Aufgabe einfallen? Welchen Sinn hat der Mist? Und wie leicht waren die anderen Aufgaben, um so was zu rechtfertigen? denn erstens muss man sich einige Gedanken machen, um auf die Lösung zu kommen und wenn man nicht sofort sieht, dass S CD halbiert, was man durchaus nicht erwarten kann, ist man schnell bei so komplizierten Methoden angekommen, wie die obige (auf die man auch nicht sofort kommt) und man verliert einige Zeit. |
katya
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 08:09: |
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Hi Thomas!
Vielen Dank für deine Antwort!
Auf deine Fragen kann ich leider auch nicht ausreichend antworten, ausser, dass der Peiniger eigentlich ein ganz toller Mathelehrer ist und solche tückischen Aufgaben nur stellt, wenn wir vorher im Unterricht etwas dazu besprochen haben. Also entweder war ich gerade an diesem Tag nicht in der Schule, oder er hat die Aufgabe für nicht so schwer befunden wie sie aber in Wirklichkeit ist.
Nochmal vielen Dank.
katya |
...
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 17:23: |
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bei dem viereck handelt es sich eigentlich ja lediglich um vier linien... es bildet ja keine flaeche. daher haette man immer "nur" die geraden A-B, B-C, C-D, D-A aufstellen muessen und schauen, ob diese g schneiden.
evtl. aufwendig, k.a. |
Jochen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. April, 2001 - 14:14: |
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Hi Katya,
für den Sonderfall aus deiner Aufgabe gehts viel leichter:
Wenn du genau hinsiehst, merkst du, dass die Vektoren AB und CD gleich sind; das Viereck ist also ein Parallelogramm(Allerdings ist die Bezeichnung der Punkte seltsam: nicht ABCD ist ein Parallelogramm, sondern ABDC!)
Das parallelogramm wird durch die Vektoren AB and AC aufgespannt.
Die Ebene des Parallelogramms ist dann z.B durch
E:x= OA + my mal AB + ny mal AC gegeben(OA als Aufvektor, O Koordinatenursprung)
Bestimme den Schnittpunkt von g und E wie üblich: wenn für my UND ny gilt:
0<=my <=1 und 0<=ny <=1, so liegt der Schnittpunkt im Inneren des Vierecks bzw. auf dessen Rand. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 21:06: |
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Zu ...
Es geht aber zunächst darum, ob das Viereck (Ich hab oben gezeigt, dass das Ding wirklich ein Viereck ist) geschnitten wird. Der Schnittpunkt könnte also auch innerhalb liegen. Also genügt es nicht nur einen Schnittpunkt mit den Strecken des Vierecks zu beliegen; es könnte ja auch ein Punkt innerhalb des Vierecks der Schnittpunkt sein und dann nutzt es einem nichts zu sagen, der Schnittpunkt liegt nicht auf den Strecken.
Zu Jochen
Du hast recht! Es geht so wirklich einfacher. Aber ich hab das nicht gesehen. Es stand auch nicht explizit dabei, dass es sich um ein Parallelogram handelt, also hat man auch ein Problem, wenn man das nicht sofort sieht. Ich finde die Aufgabe, so wie sie hier steht, trotzdem für relativ schwer, weil man Zeit und Glück (ein gutes Auge) braucht, um all das zu sehen. Wenn man dazu aber Übungen gemacht hat und weiß um was für einen Typ von Viereck es sich handeln muss, kann man dann schon gezielt danach suchen. Meine Lösung kann aber für alle Vierecke und sogar alle ebenen Polygone verwendet werden. |
Janos
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 19:05: |
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Hi Lena,
Bitte bei neuen Fragen einen neuen Beitrag öffnen und nicht hinten anhängen! |
J
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 19:36: |
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Hi Linny
Ist ganz einfach:
Stelle einfach eine Ebenengleichung durch drei der Punkte auf und prüfe, ob auch der 4. Punkt auf der Ebene liegt:
Ich schreibe anstelle der Spaltenvektoren, wie du sie wohl kennst, Zeilen, weil sich spaltenvektoren hier kaum tippen lassen.
Also bedeutet z.B. V(2,4;-1) den Vektor, in dem die Zahlen 2;4 und -1 untereinander stehen!
Entsprechend soll Vx den Vektor x bedeuten, und so weiter.
Damit:
E: Vx =V(0,5;0,5;0)+ a* V(0,5;-0,5;1) + b*V(1;-1;2)
E ist die Ebene, die Durch die drei Punkte A,B und C bestimmt wird.
Wenn D auf E liegt, muss es Zahlen a und b geben, so dass die Gleichung
V(2;0;0) = V(0,5;0,5;0)+ a* V(0,5;-0,5;1) + b*V(1;-1;2)
Leider hab ich keine Zeit mehr das Gleichungssystem zu lösen. Kannst du aber bestimmt selbst!
Zu 2
Wenn P wirklich nicht auf g liegt, ist der Vektor V(-1;0;4) - V(-2;5;0) = V(1;-5;4) ein Richtungsvektro dre Ebene. der zweite Richtungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden g
Aufvektor für E ist der aufvektor zu g!
Gruß J |
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