| Autor |
Beitrag |
    
Tobias Lange (Metallica)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 14:26: | 
|
Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen? Bitte mit vollständigem Lösungsweg und bitte schnell, denn ich schreibe Mathe-P3 in zwei Wochen. Danke
gegeben: f(x)= 1/2x[1+(lnx)^2 ] ; Df=R>0
Zeigen Sie, dass f'(x)=1/2(1+lnx)^2 ist
und folgern Sie daraus ohne Verwendung der zweiten Ableitung, dass Gf keinen Extrempunkt besitzt. |
Tini (Tini)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 15:07: |
|
Also, zuerst die Ableitung mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel:
f'(x)=1/2(1+(lnx)²)+1/2*x(0+2lnx*1/2)
=1/2+1/2(lnx)²+1/2x*2*1/x*lnx
=1/2+lnx+lnx
=1/2+2lnx
Damit man auch sieht, dass diese Ergebnis gleich 1/2(1+lnx)^2 ist, formt man dieses einfacher halber um:
1/2(1+lnx)^2
=1/2(1+2lnx+(lnx)²)
=1/2+lnx+1/2(lnx)²
=1/2+lnx+lnx
=1/2+2lnx
Und, siehe da: beides gleich ;-)
Extrempunkt:
Du setzt, wie gewohnt, erstmal f'(x)=0
Dabei ergibt sich dann:
1/2+2lnx=0
<=> lnx=-1/4
<=> x=e^(-1/4) als möglicher Extremwert.
e^(-1/4) ist ungefähr 0,7788
Ich kann Dir also nicht sagen, warum e^(-1/4) kein Extrempunkt sein soll. Das verstehe ich leider selber nicht...
Kann das hier sonst jemand erklären?
Hoffe, ich konnte Dir wenigsten ein bisschen helfen... |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 16:46: |
|
In der zweiten Zeile hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen: am Ende muss statt 1/2 1/x stehen.
Ich denke übrigens auch, dass hier ein Extrempunkt durchaus drinn ist. |
x-ray
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 22:08: |
|
Tini, du darfst hier nicht die Log-Regel anwenden (Klammerstellung!). (lnx)² ist nicht 2lnx! Es gilt lediglich lnx²=2lnx. Demnach ist 1/2 +2lnx ungleich 1/2 (1+lnx)².
So sieht die Ableitungsrechnung mit Produktregel aus:
f´(x)=1/2 (1+(lnx)²)+2/x *lnx*1/2 *x
=1/2 +1/2 (lnx)² +lnx
=1/2 (1+ (lnx)² +2lnx) (1. bin. Formel)
= 1/2 (1+lnx)²
Es kann aber keine Extremstelle geben, denn es gilt f´(x)>0 für alle x aus dem Definitionsbereich. Wenn es einen Extempunkt gäbe, müßte der Graph aber rechts oder links vom Extrempunkt fallen! Das ist hier nicht möglich.
MfG x-ray |
Tini (Tini)
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 07:02: |
|
Hm, ja klar...
Das ist typisch ich. Ich freue mich immer, wenn etwas so klappt, wie ich es haben will. Und so macht man dann die meisten Fehler...
Sorry Tobias!!! |
Tobias Lange (Metallica)
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 11:08: |
|
Vielen Dank an Tini, Thomas und x-ray. Ihr habt mir sehr geholfen.
Tobias |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 12:05: |
|
Nullstelle gibt es und zwar bei x1=e-1.
Aber da wegen dem Quadrat in der Ableitung, links und rechts neben dieser Nullstelle die Ableitung positiv ist, ist sie überall ausser in x1 monoton steigend und hat Gf hat bei bei x1 einen Flachpunkt, der eine Art Zwischenniveau darstellt. |
|
