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Holger (Holgersson)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 17:39: | 
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Hallo,
ich habe ein Problem, wir sollen eine Aufgabe in folgender Art lösen können.
Wir sollen die Kugelgleichung bestimmen.
Gegeben ist:
2 Tangentialgleichungen, eine Koordinate des Mittelpunktes und ein Punkt auf der Kugel
Kann mir jemand dazu eine Musteraufgabe mit Lösung bzw. Lösungsansatz zu geben?
Wäre super
Vielen Dank im voraus
Holger |
Marco (Scufe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 18:55: |
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kein problem:
die kugelgleichung lautet ja bekanntlich (x-u)²+(y-v)²+(z-w)²=r²
u/v/w sind die koordinaten des mittelpunktes, dann mußt du noch den abstand vom mittelpunkt M und einer tangentengleichung berechnen. und denn abstand für r einsetzen.
marco |
Gabriel
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 20:42: |
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Hi Marco,
Hast Du überhaupt die Aufgabe verstanden? |
...
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 21:01: |
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Hi,
das ist doch richtig, was Marco gesagt hat, du brauchst den Abstand vom Mittelpunkt zu einer der Tangenten, oder eventuell zu dem anderen Punkt, dann hast du jedenfalls den Radius und mit Mittelpunkt und Radius einer Kugel kann man schon sehr viel anstellen ... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. April, 2001 - 08:15: |
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Hi Holger,
Wir müssen Deine Aufgabe von Grund auf neu
formulieren und vor allen Dingen dafür sorgen, dass keine
Verwechslungen der Begriffe Tangentialebene der
Kugel einerseits und Kugeltangente andrerseits mehr
auftreten.
Nach meinem Dafürhalten lautet die Aufgabe so:
Von einer Kugel sind zwei Tangentialebenen T1 und T2 ,
ein Punkt A auf der Kugel sowie genau eine Koordinate des
Mittelpunktes M gegeben.
Gesucht werden der Mittelpunkt und der Radius r der Kugel.
Wir lösen die Aufgabe zuerst stereometrisch, also ohne
Berechnung.
1.
Der Mittelpunkt liegt auf einer der beiden
Winkelhalbierungsebenen W1, W2 der Ebenen T1, T2..
2.
Der Mittelpunkt liegt auf einer Parallelebene H zu einer
bestimmten Koordinatenebene
Ist z.B. zM = 6 gegeben, so liegt M auf der Parallelebene
zur (x.y)-Ebene im Abstand 6 , Gleichung von H : z = 6
1. und 2.
M liegt auf einer der Schnittgeraden s1 , s2 von
W1 und H beziehungsweise W2 und H.
3.
Da die Abstände des Punktes M von A einerseits
und von der Ebene T1 ( oder T2 ) andrerseits gleich
sind , nämlich je gleich r, liegt M auf einem
Rotationsparaboloid mit A als Brennpunkt und T1 ( oder T2 )
als Leitebene.
Das Lot durch A auf T1 ( oder T2 ) ist die Achse des Paraboloides,
4.
M ergibt sich als Durchstosspunkt der oben bestimmten Geraden s
mit dem Paraboloid
Da es i.A. zwei Durchstosspunkte gibt, liefert jede der beiden
Geraden s1 , s2 je zwei Mittelpunkte.
Insgesamt gibt es vier Lösungen.
Numerische Beispiele ,welche einen nicht allzu grossen
Rechenaufwand erfordern, sind nicht leicht zu finden
und werden, wenn überhaupt, erst auf Bestellung geliefert
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 19:28: |
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Hi Holger,
Motto:
" Grau, teurer Freund, ist alle Theorie,
Und grün des Lebens goldner Baum."
Goethes Faust I, Schülerszene.
Mitten aus dem Leben:
ein Musterbeispiel zu Deiner Frage.
Gegeben ist der Punkt A ( 8 / wurzel(7) / 8 )
Eine Kugel mit dem Mittelpunkt M ( xM / yM / 5)
berührt die (x,y) - Ebene z = 0
und die (y,z) - Ebene x = 0.
Berechne die Koordinaten xM und yM von M
sowie den Kugelradius r .
Zur Lösung nehme man die von mir
im letzten Abschnitt entwickelte graue Theorie
zu Hilfe.
1.Teil
Wir beginnen mit dem schwierigsten Teil,
der Aufstellung der Gleichung des Paraboloides.
Der Punkt A ist der Brennpunkt des Paraboloides,
die (x,y)-Ebene ist die Leitebene .
Der Abstand des Brennpunktes von der Leitebene ist
der Parameter p des Paraboloides;
es gilt p = zM = 8.
Das Lot von A aus auf die (x,y)-Ebene trifft diese im Punkt L.
Der Mittelpunkt S der Strecke AL ist der Scheitelpunkt S des
Paraboloides
Für S gilt: S ( 8 / wurzel(7) / 4 ).
Wir wählen den Punkt S als neuen Nullpunkt eines parallel
verschobenen Koordinatensystems mit den Achsen x' , y' , z' .
Die Transformationsgleichungen lauten;:
x ' = x - 8 , y ' = y - wurzel (7) , z ' = z - 4.
Im neuen System hat das Paraboloid die Gleichung:
x ' ^ 2 + y ' ^ 2 = 2 p z '
im alten System mithin::
( x - 8 ) ^ 2 + ( y - wurzel (7) ) ^ 2 = 16 * ( z -4).........................(1)
2.Teil
Die beiden Winkelhalbierungsebenen W1 und W2 der
Tangentialebenen z = 0 und x= 0 sind rasch ermittelt :
W1: Gleichung z = x
W2: Gleichung z = - x.
Zuerst arbeiten wir mit W1 und schneiden diese Ebene
mit der Ebene z = 5.
Ergebnis: Schnittgerade s1. x = z = 5...................................................(2)
Wir schneiden das Paraboloid mit s1,
indem wir in (1) die Beziehung (2) einsetzen:
Ergebnis
i) 9 - wurzel(7) = wurzel (7) oder
y = 2 * wurzel (7) als gesuchter y-Wert des Mittelpunktes M.
xM = zM = 5 sind die beide anderen Koordinaten von M ,
r = 5 a priori.
ii) 9 - wurzel(7) = - wurzel (7) oder
y = 0 als gesuchter y-Wert des Mittelpunktes M
xM = zM = 5 sind die beiden anderen Koordinaten von M ,
r = 5 a priori.
Jetzt benützen wir W2 und schneiden diese Ebene
mit der Ebene z = 5.
Ergebnis: Schnittgerade s2 : x = - 5 , z = 5...................................................(3)
Wir schneiden das Paraboloid mit s2,
indem wir in (1) die Beziehung (3) einsetzen:
Wir erhalten keine reellen Lösungen, so dass unsere Aufgabe
"nur" zwei Lösungen hat.
Ich hoffe, dieses Beispiel ist instruktiv genug, damit die
Lösungsidee besser durchschaut werden kann .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 23:27: |
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Hallo Holger & megamath
Ich wollte eine Lösung des obigen Beispiels angeben, die ohne einen Paraboloiden auskommt, da dieser ja kein normaler Schulstoff ist:
Man kann auch einfach die beiden Winkelhalbierenden-Ebenen
aufstellen wie oben (x+z=0 und x-z=0), dann jeweils schneiden mit der Ebene z=5, in der der Mittelpunkt nach Voraussetzung liegt.
Das ergibt die beiden Schnittgeraden
s1:x=(5;0;5)+t*(0;1;0) und
s2:x=(-5;0;5)+t*(0;1;0)
Auf einer von denen muss der Mittelpunkt liegen.
Da nur noch t unbekannt ist, muss eine Gleichung für t her:
Es gilt wegen Berührung d(M,T1)=d(M,A)
[also Abstand Mittelpunkt zu Tangentialebene = Radius = Abstand von M zu A].
1._:Für die Lage des Mittelpunkts auf s1 gilt:
da d(M,T1)=5 gilt und d(M,A)=wurzel(3^2+(wurzel(7)-t)^2+3^2)
erhält man die Gleichung
5=wurzel(3^2+(wurzel(7)-t)^2+3^2)
Die quadriert man und erhält
25=18+(wurzel(7)-t)^2 |-18
7=(wurzel(7)-t)^2 |wurzel
zwei Lösungen:
wurzel(7)=wurzel(7)-t ----> t1=0
und
-wurzel(7)=wurzel(7)-t ----> t2=2*wurzel(7)
2._:Für die Lage des Mittelpunkts M auf s2:
Anschaulich geht das nicht, da der Mittelpunkt in einem Oktanden mit negativem x-Wert liegt, der Punkt A aber den positiven x-Wert 8 hat und die Ebene x=0 Tangentialebene sein soll.
Rechnerisch erhält man nur nicht reele Lösungen
[25=169+(wurzel(7)-t)^2+3^2 : unlösbar]
Damit erhält man also M1(5|0|5); r1=5
und M2(5|2*wurzel(7)|5) ; r2=5
Analog geht kann man auch bei schwierigeren Beispielen vorgehen. |
Hogersson
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 08:41: |
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Vielen Dank für die vielen Bemühungen eurerseits, ich werde das gleich mal alles durchgehen und schauen das ist alles nachvollziehe und anwenden kann.
Ich meld mich dann nochmal wenn Fragen sind.
ALSO DANNNKKKEE!!
Holger |
Plotti
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 13:13: |
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eine frage: würde etwas gegen folgende lösung sprechen??
man setze einfach die mittelpunktsvariablen(x/y/5) jeweils in die hessische normalenform der ebenen ein >>> man erhält jeweils eine gleichung für den abstand/radius mit den variablen x und y
berechnet man nun ganz formal den abstand zwischen M und dem punkt A, so erhält man wieder eine gleichung in der die variablen x,y und r vorkommen
man hat also ein gleichungssystem mit drei gleichungen für drei variablen>>keine unterbestimmung
beim durchrechnen mit dem obigen beispiel, erhalte ich dieselbe lösung |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 18:22: |
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Hi Inexp , Hi Plotti ,Hi Hogersson ,
Bei der Suche nach einem numerischen Beispiel
habe ich die Disposition so stark vereinfacht,
dass die Aufgabe auch ohne Beizug eines
Paraboloides lösbar wurde
(nota bene : die Geraden s1 und s2 als Träger der
Kugelmittelpunkte sind bei diesem Beispiel
zu den Tangentialebenen parallel !)
Ich war mir dieses Sachverhalts durchaus bewusst;
ich sprach ja auch davon, dass der Kugelradius a priori
bestimmt sei.
Aber als Fan aller Paraboloide musste ich - fast unter Zwang -
ein solches auch zum Einsatz bringen. Und dies ist mir auch
gelungen. Nun:
"Das Paraboloid hat seine Schuldigkeit getan; das Paraboloid
kann gehen."
(Abwandlung eines bekannten Zitats).
Für den allgemeinen Fall einer Disposition kommt
man, so meine ich, ohne Verwendung eines Paraboloides
nicht zum Ziel.
Mit freundlichen Grüssen : |
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