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philos
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 19:32: | 
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Hallo Freunde der Mathematik,
ich habe folgendes Problem:
Einen Kegel mit Grundkreis Radius r=4 cm und Höhe h = 6 cm ist ein Zylinder (V=pi*r^2*h) größten Inhalts einzuschreiben.
Vielleicht habt ihr Tips denn weder mit Pythagoras noch mit tan kam ich weiter.
Grüße
Philos |
Monk
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 20:38: |
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Hi philos,
Ist dies lineare Algebra? |
philos
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 21:18: |
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Es ist Analysis. Wo hätte ich die Frage besser unterbringen sollen?
Grüße
Philos |
Neomaniac
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 22:17: |
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Dies ist eindeutig eine Extremwertaufgabe so zu lösen:
Der Radius und die Höhe des Zylinders hängt davon ab, wo der Zylinder den Kegel berührt. Für Radius und Höhe genügt jedoch eine Zweidimensionale Dartellung, aslo tragen wir die Kante des Kegel als Teilstück einer Geraden in ein Koordinatensystem ein.
Diese Gerade ist gegeben durch die Punkte (0/6) Spitze des Kegels und (4/0) radius der Grundfläche.
lautet also y = -3/2x+6
Es soll jetzt das maximale Volumen eines einbeschriebene Zylinders betrachtet werden:
dieses Volumen ergibt sich aus:
V=pi * r² * h
oder V=pi * x² * f(x) also V=pi * x² * (-3/2x+6)
<=> V=pi * (-3/2x³+6x²)
Um den größt mögliche Inhalt herauszufinden müssen wir diese Funktion auf Extremwerte untersuchen:
1 Ableitung bilden: pi * (-9/2x²+12x)
2 Ableitung bilden: pi * (-9x+12)
1. Ableitung gleich null setzen:
pi * (-9/2x²+12x) = 0
<=> -9/2x²+12x=0
<=> x*(-9/2x+12)=0
<=> x = 0 oder x= 8/3= 2,66666
In 2. Ableitung einsetzen
x = 0 in f''(x) = 12 <-- Minimum (wir suchen Maximum)
x=8/3 in f''(x) = -12 <-- Maximum
Es ergibt sich ein Maximum für x = 8/3
Also radius = 8/3
Höhe damit = 2
Volumen dann: pi * r²*h = 64/9*2*pi |
philos
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 08:50: |
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Hallo Neomaniac,
ich möchte mich für Deine schnelle Antwort bedanken.
Den Ansatz, dass V = pi * r^2 * h in diesem Fall dasgleiche wie V = pi * x^2 * f(x) ist, erkannte ich nicht.
Nochmals Dank und Salü!
Philos |
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