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Dirk P.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 16:23: | 
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Hallo, ich hab hier ne Aufgabe die zwar simpel klingt, mir aber trotzdem schwierigkeiten bereitet. Also:
Wie oft muss man eine faire Münze werfen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, genau 3 mal Zahl zu werfen, am größten ist?
Ich stolpere über das "am größten". Ein kompletter Lösungsweg wäre nett, das ich den Gedanken im Ganzen nachvollziehen kann.
Danke, Dirk |
philos
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 19:29: |
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Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, also immer 2 Ausgänge (Zahl bzw. Kopf) zur Verfügung stehen, und sich die Wahrscheinlichkeit von Wurf zu Wurf nicht ändert gilt:
b (n ; p=0.5 ; k=3)
Nun muss man in den Stochastik-Tabellen nachsehen:
b (3;0.5;3) = 0.125
b (4;0.5;3) = 0.25
b (5;0.5;3) = 0.3125
b (6;0.5;3) = 0.3125
b (7;0.5;3) = 0.27344
b (8;0.5;3) = 0.21875
Am schönsten sieht man das Ergebnis bei einer Darstellung als Histogramm.
Man sieht also, dass die Wahrscheinlichkeit mit einer Laplace-Münze genau 3 mal Zahl zu werfen, bei einem Stichprobenumfang von 5 und 6 am höchsten ist.
Grüße
Philos |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 21:22: |
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Hi Dirk,
philos hat Deine Frage umfassend beantwortet.
Zur Ergänzung möchte ich eine analytische
Betrachtungsweise anfügen.
Bezeichnungen:
Für den Binomialkoeffizient "n über k"
schreibe ich (n.k); es gilt bekanntlich
( n , k ) = n ! / [ k! * ( n - k ) ! ]
Ferner ist wie bei philos die Wahrscheinlichkeit für genau
k Treffer zu Ehren von Jakob Bernoulli mit
b (n, p ; k) bezeichnet ;
n : Anzahl der Versuche , p: Trefferwahrscheinlichkeit
Es gilt (wiederum bekanntlich) :
b(n, p; k) = ( n , k ) * p ^ k * ( 1 - p ) ^ ( n -k )
In Deinem Fall gilt: p = ½ , k = 3., also
1 / 3 ! * n * ( n -1) * ( n - 2 ) * ( ½ ) ^ n
n ist so zu bestimmen, dass b (n , ½, 3 )ein Maximum
im Sinne des absoluten Maximums erreicht.
Wir führen anstelle der natürlichen Zahl n die stetige reelle
Variable x > 0 ein und begeben uns damit in das Gebiet der
reellen Analysis.
Wir haben nun die Aufgabe , eine Funktion T = T(x) zu untersuchen,
die - gemäss der Definition der Bernoullikette - in unserem Fall
so aussieht:
T = 1/6 * x * (x-1) * (x-2) / 2 ^ x , x > = 0
Verlauf der Kurve:
Nullstellen x = 0 , x = 1 , x = 2
Die positive x-Achse ist Asymptote
relatives und absolutes Minimum bei x = 1,49686 (neg.T-Wert)
relatives Maximum bei x = 0,35179 .
Als entscheidender Wert stellt sich das relative und zugleich
absolute Maximum bei
x = 5,47943 ein
Dies stimmt mit der Antwort von philos überein
Anzahl der Versuche für das gewünschte Maximum:
n = 5 oder n = 6; die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist beidesmal
P = 5 / 16, wie man leichthändig nachrechnet.
Mit freundliche Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
philos
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 21:29: |
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Salü Herr Moser,
Sie nennen eine sehr interessante Betrachtung, die mir viel Freude bereitete beim Durchrechnen und Aufschluss über die Verquickung von Analysis und Stochastik bietet.
Viele Grüße
Philos |
Dirk P.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 15:31: |
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Danke vielmals für Eure schnelle Hilfe.
Ciao, Dirk |
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