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Beitrag |
    
larsman
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 12:04: | 
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Hallo Leute,
hab ein großes Problem mit folgener Funktion :
F(x)=sin(ax²)
Alle zur Kurvendiskussion benötigten Werte würden mir weiterhelfen! Vorallem die Ableitungen!
Vielen Dank im Voraus
larsman |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 12:31: |
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Ableitungen:
f' = cos(ax²)*2ax
f''= -sin(ax²)*(2ax)² + cos(ax²)*2a
mfg, Thomas |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 12:35: |
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Hi larsman
Hier die Ableitungen
f'(x)=2ax*cos(ax^2)
f"(x)=2a*cos(ax^2)+2ax*2ax*cos(ax^2)
=2a*cos(ax^2)(1+2ax^2)
f'"(x)=2a*2ax*cos(ax^2)(1+2ax^2)+2a*cos(ax^2)*4ax
=4ax*(1+2ax^2)cos(ax^2)+8a^2x*cos(ax^2)
=(4ax*(1+2ax^2)+8a^2x)*cos(ax^2)
=(4ax+8a^2x^3+8a^2x)*cos(ax^2)
mfg Lerny |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 12:44: |
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Hi Larsman
entschuldige, aber bei der 2. und 3. Ableitung habe ich gepennt; sie sind falsch
Hier die Korrektur
f"(x)=2acos(ax^2)+2ax(-sin(ax^2))*2ax=2acos(ax^2)-4a^2x^2*sin(ax^2)
f'"(x)=2a*(-sin(ax^2))*2ax-[8a^2x*sin(ax^2)+4a^2x^2cos(ax^2)*2ax]
=-4a^2x*sin(ax^2)-8a^2x*sin(ax^2)-8a^3x^3cos(ax^2)
=sin(ax^2)*[-4a^2x-8a^2x]-8a^3x^3cos(ax^2)
=-12a^2xsin(ax^2)-8a^3x^3cos(ax^2)
mfg lerny |
doerrby
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 15:05: |
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Dann lasst uns doch mal weitermachen:
1)
Nullstellen: (f(x) = 0)
Þ sin(ax2) = 0
Þ ax2 = k*p ; k ganze Zahl
Þ xN = ±Wurzel(kp/a) ; k ganze Zahl
2)
Extremstellen: (f'(x) = 0)
Þ cos(ax2) * 2ax = 0
Þ 1. x=0
2. cos(ax2)=0
Þ ax2 = k*p + p/2 = (k+½)p ; k ganze Zahl
Þ xE = ±Wurzel((k+½)p/a) ; k ganze Zahl
f''(xE) = 2a( cos((k+½)p - sin((k+½)p) * 2a*(k+½)p/a )
= 2a( ±1 * 2(k+½)p)
= ±4ap(k+½) ¹ 0
3)
Wendestellen: (f''(x) = 0)
Þ 2a( cos(ax2) - sin(ax2) * 2ax2 ) = 0
Þ cos(ax2) = 2ax2 * sin(ax2)
Þ 1/(2ax2) = tan(ax2)
Vielleicht eher:
cos(ax2) = Wurzel(1-sin2(ax2)) = 2ax2 * sin(ax2)
Þ 1 - sin2(ax2) = 4a2x4 * sin2(ax2)
Þ 1 = sin2(ax2) * (4a2x4 + 1)
Tjaaa..., hier wird's nun wirklich haarig, keine Ahnung...
4)
Symmetrien: Sinus ist eigentlich punktsymmetrisch zum Ursprung, aber wegen dem x2 gilt hier:
f(-x) = sin(a(-x)2) = sin(ax2) = f(x) ,
also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
5)
Definitionsbereich: Sinus ist für ganz R definiert.
Gruß Dörrby |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 18:56: |
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Wendepunkte geht vielleicht so:
f"(x)=0
cos(ax2)-2ax2sin(ax2)=0
cos(ax2)=2ax2sin(ax2)
Substitution: u=2ax2
cosu=2u*sinu
2u*sinu/cosu=0
2u*tanu=0
2u=0 oder tanu=0
u=0 oder u=+2k*Pi oder u=-2k*Pi
ax2=0 => x2=0 => x=0
ax2=2k*pi => x2=(2k*pi)/a => x=Wurzel(2k*Pi/a)
mfg Lerny |
doerrby
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 12:02: |
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Nicht ganz: Wenn Du durch cos(u) teilst, bleibt auf der einen Seite 1 stehen und nicht 0. Da liegt ja gerade das Problem !!
Gruß Dörrby |
larsman
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 12:17: |
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Danke, ihr wart mir ne große Hilfe!!!!
Nur was mach ich mit den Wendepunkten??
Egal, vielen Dank
larsman |
doerrby
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 06:26: |
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Die Wendestellen müssten anschaulich "mittig" zwischen den Extremstellen liegen. Wenn man hier aber die "mittig" liegenden Stellen (das sind die Nullstellen) in die Gleichung
cos(ax2) = 2ax2 * sin(ax2)
einsetzt, kommt ein Widerspruch raus. Die einzige Möglichkeit, die ich noch sehe, ist ein numerisches Näherungsverfahren, auf deutsch: Ausprobieren !!
Gruß Dörrby |
larsman
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 12:11: |
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Hi Lerny,
hab noch mal ne Frage!
Bei den Extremstellen:
Du hast cos(ax²)* 2ax = 0 gesetzt!Klar
aber was passiert mit 4a²x²*sin(ax²)????
Das gleiche bei den Wendepunkten!
Und wie wird der Grapf für f(1) und f(-1) aussehen?
was muss ich machen
DANKE;DANKE
See you
larsman |
larsman
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. April, 2001 - 17:47: |
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Sorry, Frage war Schwachsinn!!!!!!
Aber Graphen wären trotzdem cool. |
