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Kathrin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 15:10: | 
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Extremwertaufgabe
Vielleicht kann mir ja jemand bei dieser aufgabe helfen, ich hab keine Ahnung wie ich an den Ansatz kommen soll.
Aus einem quadratischem Stück Pappe mit der Seitenlänge a soll ein Karton ohne Deckel hergestellt werden, indem man an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidet und die dabei entstehenden Seitenflächen nach oben biegt. Der Karton soll ein möglichst großes Volumen besitzen.
Vielen Dank im Voraus, is echt nett das du dich dieser sch.. aufgabe annimmst! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 16:51: |
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Hi!
Also du mußt das Volumen maximal bekommen. Es hängt von 2 Faktoren ab. Nämlich von der Seitenlänge a und den Einschnitten, die du machst.
Wichtig ist einmal, dass du dir eine Skizze machst! Ich hab die länge der Einschnitte mit x bezeichnet. Man kennt sie ja noch nicht.
Die Formel für das Volumen errechnet sich mit Grundfläche mal Höhe.
Hier also V = x(a-2x)² (Skizze machen !!)
Wenn du deine Figur also zu einem Karton formst wird x zur Höhe und (a-2x) ist die Seitenlänge.
Jetzt differenzierst du die Funktion nach x, um zu sehen, wo diese Volumsfunktion ein Maximum hat. (a ist eine Konstante).
V' = a² -8ax + 12x²
Wenn du diese Ableitungsfunktion jetzt Null setzt, dann bekommst du die Extrema (Maximum und Minimum).
0=a²-8ax+12x²
X1=a/6
X2=a/2
Jetzt überprüfst du noch, mit hilfe der 2ten Ableitung, welcher Punkt das Maximum ist.
==> a/6 ist unser gewünschtes Ergebnis.
Wenn du also eine Quadrat mit 12cm Seitenlänge hast, dann mußt du Quadrate mit 2cm Seitenlänge hineinschneiden. ;-)
MfG, Thomas |
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