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Volumen einer Pyramide aus Ebenen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Volumen einer Pyramide aus Ebenen « Zurück Vor »

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Smile
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 14:25:   Beitrag drucken

Hallo!

Kann mir wohl einer helfen?
Gegeben (das in den Klammern sind die Vektoren): E: x-Vektor=(3|-3|0)+s(-1|3|8)+t(-1|1|4),
also ist die Normalenform: (2|-2|1)(x-Vektor)-12=0
und die hessesche Normalenform: (2/3|-2/3|1/3)(x-Vektor)-4=0
Schnittpunkt von E mit den Koordinatenachsen: S1(6|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|12)
Gerade g: x-Vektor=(-3|3|0)+r(1|-1|2*(Wurzel aus 2))

Aufgabe:
1. Die Ebene E und die Koordinatebenen legen eine Pyramide fest.
a) Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
b) Für welche a aus R liegt der Punkt P(1|-4|a) im Inneren der Pyramide?

2. Auf der Geraden g gibt es Punkte, die vom Koordinatenursprung O den Abstand 4LE haben. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte.

Wenn mir jemand heute noch die Aufgaben (oder wenigstens eine davon) erklären könnte, wäre ich echt froh darüber!

Danke schon mal im Voraus!
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 16:51:   Beitrag drucken

Wenn sich keine Rechenfehler eingeschlichen haben, dann ist...

1a) Wenn du dir ein Achsenkreuz aufzeichnest, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen einzeichnest und verbindest, so schaust du von "unten" auf die Grundfläche der Pyramide, deren Spitze im Ursprung liegt.
Das Volumen einer Pyramide ist V=1/3*G*h. Die Höhe der Pyramide ist der Abstand der Ebene E zum Ursprung, also in diesem Fall h=4 (ein hoch auf die hessesche Normalenform).
Bleibt also nur die Fläche des Grunddreiecks zu berechnen. Die Eckpunkte dieses Dreiecks sind ja nun genau die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Die Länge der von S1 und S2 gebildeten Grundseite berechnet sich aus
|(6,0,0)-(0,-6,0)|=|(6,-6,0)|=wurzel(36+36+0)=6*wurzel(2)
Auf die gleiche Weise erhält man für die beiden anderen Seiten die Länge 6*wurzel(5).
In diesem gleichschenkligen Dreieck wird nun mit dem Pythagoras die Höhe 9*wurzel(2) berechnet.
Damit bleibt dann
V=1/3 * (1/2*6*wurzel(2)*9*wurzel(2)) * 4 = 1/3*6*9*4 = 72

1b) Um zu berechnen, für welche Werte von a der Vektor im Inneren der Pyramide liegt, berechnest du erst einmal für welche Werte er genau in den Flächen der Pyramide liegt.
Dazu wird der Vektor einfach in die Normalenform der jeweiligen Ebene eingesetzt.
Für die Ebene E ist dann
(2,-2,1)(1,-4,a)-12=2*1+(-2)*(-4)+1*a-12=a-2=0 => a=0
Der Punkt (1,-4,a) liegt also in der Ebene E
Das gleiche noch für die xy-Ebene: (0,0,1)(1,-4,a)=a=0
Auf der yz-Ebene und xz-Ebene erhält man 1=0 bzw -4=0, d.h. der Punkt (1,-4,a) liegt nicht in diesen Ebenen.
Bleibt also übrig, daß für 0<a<2 die Punkte (1,-4,a) innerhalb der Pyramide liegen.

2) Der Abstand eines Punktes (a,b,c) vom Ursprung ist d=wurzel(a²+b²+c²).
für einen Punkt der Geraden g (-3+r,3-r,2*wurzel(2)*r) ist also
d²=(-3+r)²+(3-r)²+(2*wurzel(2)*r)²=(9-6r-r²)+(9-6r-r²)+8r²=10r²-12r+18
Der Abstand sollte 4 LE betragen. Also ist die quadratische Gleichung 10r²-12r+2=0 zu lösen.
Die Nullstellen sind 1 und 1/5. diese r in die Geradengleichung eingesetzt ergeben die gesuchten Punkte
(-2,2,2*wurzel(2)) und (-14/5,14/5,2/5*wurzel(2))
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smile
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 18:37:   Beitrag drucken

Hallo Curious!

Erst mal vielen Dank für Deine Mühe.
Ich hab auch versucht, ein wenig selbstständig zu rechnen und habe bei 1a) aber für das Volumen 48*(Wurzel2) raus, weil ich für die Höhe des Dreiecks 12 herausbekommen habe. Allerdings finde ich meine Fehler nicht! Ich habe gerechnet(h=Höhe des Dreiecks): (6*Wurzel(5))²=1/2*(6*Wurzel(2))²+h² <=> 180=1/2*72+h² <=> h=Wurzel(144) <=> h=12
Wo ist mein Fehler?

Vielen Dank!
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Pfanne
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 18:43:   Beitrag drucken

Dass die Grundseite gleichseitig ist.. jo.. darauf bin ich nicht gekommen.

Danke für deine Mühe!
Pfanne

PS: Sitze neben Smile in Mathe :)
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Georg (Hgs)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 21:17:   Beitrag drucken

smile,
Das 1/2 muss mit quadriert werden und kann mit der 6 zusammengefasst werden.
(6*Wurzel(5))²=((1/2)*6*Wurzel(2))²+h² <=> 180=18+h² <=> h=Wurzel(162)
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Curious (Curious)
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Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 08:49:   Beitrag drucken

Hallo,
wo dein Fehler ist, hat Georg ja schon geklärt.
Mir ist aufgefallen, daß ich mal wieder losgerechnet habe, ohne vorher nachzudenken.
Das Ergebnis ist schon ok, man hätte es aber auch einfacher haben können.
Wenn du dir z.B die linke untere Tischkante als Ursprung des Koordinatensystems vorstellst mit der x-Achse Richtung Wand, die negative y-Achse in Richtung deines Körpers und die z-Achse nach oben, so würde die Pyramide ja genau auf der Tischkante liegen. Jetzt kannst du die Tischplatte (xy-Ebene) als Grundfläche nehmen: das ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge 6. Die Höhe der Pyramide ist 12 - die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen waren ja schon ausgerechnet.
Dann ist das Volumen der Pyramide ohne den Wurzelschnickschnack
V=1/3 * (1/2*6*6) * 12 = 72
Überlegen ist halt doch ganz hilfreich ;-)

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