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Vanessa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 12:55: | 
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Ich habe folgendes Problem,denn mit dieser Aufgabe kann ich kaum was anfangen und hoffe auf eure Hilfe! Wenn es euch nichts ausmacht,würde ich mich sehr freuen,wenn ihr mir eure Rechenschritte erklären könntet (muß nicht ins Detail gehen)!
Die Aufgabe (Übergreifende) lautet:
a) Diskutieren Sie die Funktionsschar
fa(x)=(x-a)²*e^-x
b)Bestimmen Sie den Term g(x) der Funktion g,auf deren Graph die Maxima der Schar für x>0 liegen! Bestimmen Sie D(g)!
c)Ermitteln Sie eine Stammfunktion von fa und
lim(b->unendlich) vom Integral [0;b] von fa!
Ich danke schon mal im vorraus!
P.S. diese Aufgabe habe ich für morgen aufbekommen,wäre daher froh wenn ihr mir bis heute antworten könntet! DANKE |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 15:17: |
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zu a)
Der Scharparameter ist für die einzelne Funktion der Schar ja nix weiter als eine Konstante.
Und genau so wird er auch behandelt.
Als Quotient einer Parabel und der e-Funktion ist die Schar für alle reellen Zahlen definiert.
Für x gegen -oo entsteht ein Term der Form "(-oo)²*oo" ist also unendlich.
Für x gegen unendlich entsteht ein Term der Form "oo*0".
Mit der Umformung fa(x)=(x-a)²/e^x und der Regel von l'Hospital berechnet sich der Grenzwert zu Null.
Nullstellen liegen vor für (x-a)²=0, also x=a.
Die Ableitungen werden mit der Produktregel gebildet:
fa'(x)=2(x-a)e^-x + (x-a)²(-e^-x) = [2(x-a)-(x-a)²]e^-x
fa"(x)=[2-2(x-a)]e^-x + [2(x-a)-(x-a)²](-e^-x)=[2-4(x-a)+(x-a)²]e^-x
Für die Berechnung der Extremwerte wird fa'(x) weiter umgeformt und Null gesetzt
fa'(x)=(2-(x-a))(x-a)e^-x=(-x+a+2)(x-a)e^-x=0
1. x-a=0 => x=a
fa(a)=0 und fa"(a)=2e^-a>0, also (a;0) Minimum (relativ und absolut)
2. -x+a+2=0 => x=a+2
fa(a+2)=2²e^-(a+2)=4e^-(a+2) und fa"(a+2)=(2-4*2+2²)e^-(a+2)=-2e^-(a+2)<0, also (a+2;4e^-(a+2)) relatives Maximum
Für die Berechnung der Wendepunkte müssen die Nullstellen der quadratischen Funktion y²-4y+2 berechnet werden: y=2±Ö(4-2)=2±Ö2
Mit y=x-a ist dann x=a+2±Ö2. (einsetzen in fa(x) spar ich mir)
Diese beiden Punkte müssen Wendepunkte sein, denn:
-zwischen Minimum und Maximum einer Funktion muß sich ein Wendepunkt befinden
-die Funktion verläuft nach dem Maximum asymptotisch gegen Null
zu b)
wenn auf dem Graphen von g die Maxima der Schar für x>0 liegen sollen, dann sind wohl die relativen Maxima
gemeint. Wenn nicht, dann kannst du den folgenden Teil wegschmeißen.
Wenn doch, dann ist die Funktion gesucht, deren Graph die Punkte (a+2;4e^-(a+2)) enthält.
Mit der Substitution x=a+2 kommt man dann auf die Funktion g(x)=4e^-x
Mit dem Definitionsbereich ist das auch so eine Sache. Eigentlich ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert. Wurden in der Aufgabe irgendwelche Randbedingungen an den Scharparameter gestellt?
Die müßte man dann wohl übernehmen.
zu c)
Das Integral läßt sich am einfachsten mit (zweifacher) partieller Integration knacken.
Fa(x)=ò(x-a)²e^-x dx=(x-a)²(-e^-x) - ò-2(x-a)e^-x dx=-(x-a)²e^-x + 2ò(x-a)e^-x dx
=-(x-a)²e^-x + 2[(x-a)(-e^-x) - ò-e^-x dx]=-(x-a)²e^-x - 2(x-a)e^-x - 2e^-x + c
=-[(x-a)²+2(x-a)+2]e^-x + c
in den Grenzen von 0 bis b ist das Integral dann
Fa(b)-Fa(0)=-[(b-a)²+2(b-a)+2]e^-b + [a²+2a+2]
Für b gegen unendlich ist mit der Regel von L'Hospital lim [(b-a)²+2(b-a)+2]e^-b = 0, also
geht das Integral für b gegen unendlich gegen den Wert a²+2a+2.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte es das gewesen sein... |
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