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Beitrag |
    
Helpapupil
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 10:31: | 
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Aufgabe :
Gegeben ist die Funktionenenschar (t = Parameter )
Ft (x) = (ln(x) + t^2)/x
Frage:
Die Gerade x=1 schneidet den Graphen von Ft im
Punkt(1/Ft(1)) und den Graphen von Fa im
Punkt(1/Fa(1)) (t ungleich a). die Tangenten durch die beiden Punkte (1/Ft(1)) und (1/Fa(1))
schneiden sich im Punkt Q. Fertigen sie eine Skizze an (braucht ihr natürlich nicht ;) ), berechnen Sie Q und zeigen sie, dass die Koordinaten von Q unabhängig von t und a sind !
Das ist die Aufgabe, bin sonst eigentlich ganz gut in mathe, aber das Teil ist heavy ...
... soooo I NEED HELP
danke für eure hilfe schonmal vorab !!! |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 12:22: |
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Hallo Du!
Ft(x) = (lnx + t2)/x
Gesucht ist der Tangentenschnittpunkt bei x=1.
Dazu braucht man die y-Werte Ft(1) und Fa(1). Außerdem noch die Steigung in diesen beiden Punkten.
Zunächst mal die 1. Ableitung mit Quotientenregel:
Ft'(x) = (Z'N - N'Z)/N2
= ((1/x) * x - 1*(lnx + t2)) / x2
= (1 - lnx - t2) / x2
Nun einsetzen x=1:
Ft'(1) = (1 - 0 - t2) / 1 = 1 - t2
analog Fa'(1) = 1 - a2
y-Wert der Punkte ausrechnen:
Ft(1) = (ln1 + t2)/1 = 0 + t2 = t2
Fa(1) = a2
Damit haben wir für Tangente(1):
Punkt (1 | t2), Steigung 1 - t2
und Tangente(2):
Punkt (1| a2), Steigung 1 - a2
allgemeine Form der Gerade: y = mx + c
m ist die Steigung, also hier schon bekannt.
Punkt einsetzen:
t2 = (1 - t2)*1 + c
nach c auflösen:
t2 = 1 - t2 + c
c = 2t2 - 1
Damit Tangente(1): y = (1 - t2)x + 2t2 - 1
und analog Tangente(2): y = (1 - a2)x + 2a2 - 1
Nun Schnitt Tangenten:
(1 - t2)x + 2t2 - 1 = (1 - a2)x + 2a2 - 1
Ganze Gleichung -x und +1:
-t2x + 2t2 = -a2x + 2t2 + 2a2
-t2x + a2x = -2t2 + 2a2
ausklammern:
(a2 - t2)x = 2(a2 - t2)
nun noch durch a2 - t2 teilen:
x = 2
Für y-Wert noch in Tangente(1) einsetzen:
y = (1 - t2)x + 2t2 - 1
y = (1 - t2)*2 + 2t2 - 1
y = 2 - 2t2 + 2t2 - 1
y = 2 - 1 = 1
Damit ist Q(2|1) tatsächlich unabhängig von t und a!
Ich hoffe, das war verständlich.
Gruß, Dea |
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