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Peter Rast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. März, 2001 - 18:29: | 
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Wer kann mir die Schritte erklären von der Parabel in Scheitelgleichung y²=2px zur Tangentengleichung. Bitte ausführlich, da die Schritte beschrieben werden müssen. |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. März, 2001 - 23:11: |
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Welche Tangente ? Außer der Parabel muss also noch etwas gegeben sein. Was ist bei dir noch gegeben ?
Meistens geht der Rechengang folgendermaßen :
Geradenansatz und Parabel schneiden. Die entstehende quadratische Gleichung darf nur eine Lösung haben, weil Tangenten mit einer Parabel nur einen Punkt gemeinsam haben. Also ist der Ansatz Diskriminante=0 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 09:29: |
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Hi Peter,
Deine Aufgabe besteht offenbar darin, für die Parabel
y ^ 2 = 2 p x (p: Parameter der Parabel)
die Gleichung der Tangente t mit P1(x1/y1) als
Berührungspunkt zu ermitteln.
Wir nehmen das Resultat vorneweg
Die Gleichung lautet:
y * y1 = p ( x + x1 )............................................. .(1)
oder:
y = m x + p * x1 / y1 mit m = p/y1 ....................(2)
Anmerkungen
1.) Die erste Gleichung (1) ist die sogenannte Polarform;
sie kann, wie für alle Kegelschnitte, aus der Kurvengleichung
dadurch gewonnen werden, dass y ^ 2 durch y1 * y und
x durch ½ * ( x + x1) ersetzt wird.
2) Durch implizites Differenzieren bestätigt man leicht , dass
die Steigung der Tangente mit dem angegebenen Wert für m
übereinstimmt:
Es gilt für die Ableitung y ' (x) :
2 * y * y ' = 2 * p , also y ' = p /y
Die Herleitung der Tangentengleichung mit Methoden der
analytischen Geometrie, die ich im Folgenden vorführe,
ist denkbar einfach.;
sie ist jedenfalls kürzer als die von Georg angedeutete
Diskriminantenmethode, auf die ich in diesem Fall
bewusst verzichte.
Wir gehen aus von der Sekante s, welche die Parabel ausser
im Punkt P1( x1 / y1) noch in einem zweiten Punkt P2( x2 / y2 )
schneidet; später dann lassen wir P2 nach P1 rücken !
Die Gleichung von s ist:
(y - y1) / (x - x1) = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) (Zweipunkte-Form)....(3)
Zusätzlich notieren wir zwei Gleichungen, welche zum Ausdruck
bringen, dass P1und P2 auf der Parabel liegen, nämlich :
y1 ^ 2 = 2 p * x1 ; y2 ^ 2 = 2 p * x2..............................................(4) .
Durch Subtraktion dieser Gleichungen folgt:
y2 ^ 2 - y1 ^ 2 = 2 p* ( x2 - x1 ) oder:
( y2 + y1 ) * ( y2 - y1 ) = 2 p * ( x2 - x1 )......................................(5)
Jetzt dividieren wir Gl(5) durch (x2-x1)*(y2+y1) und bekommen:
(y2 - y1) / ( x2 - x1) = 2 p / ( y2 + y1 )
Dadurch geht die Gleichung(3) der Sekante s über in:
(y-y1) / (x - x1) = 2p / (y2 +y1) .....................................................(6)
Fällt nun P2 mit P1 zusammen, so gilt y2 = y1, und die
Sekante s geht in die Tangente t mit Berührungspunkt P1(x1/y1)
über.
Aus (6) entsteht dabei unter Berücksichtigung der ersten
Gleichung in (4) die Gleichung der Tangente, nämlich:
y * y1 = p ( x + x1 ) .........................................................................(7)
Ende der Herleitung.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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